Bài tập 20, § 5

Cho $f:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^2$ là một đường cong kín affine từng khúc mà hạn chế của nó trên $[0,1[$ là đơn ánh; đặt $C =f(\mathbf{I})$.

a) Chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ C có nhiều nhất hai thành phần liên thông.

b) Với $x\in \mathbf{R}^2-$ C và $v\in \mathbf{S}_1$, gọi $n_v(x)$ là số các thành phần liên thông của $(\mathbf{R}^2-C)\cap (x+\mathbf{R}_+v)$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ hằng địa phương $n:\mathbf{R}^2-C\rightarrow \{0,1\}$ sao cho $n(x)\equiv n_v(x)$ (mod$.2$) với mọi $v\in \mathbf{S}_1$.

c) Suy ra rằng $\mathbf{R}^2-$ C có đúng hai thành phần liên thông và các biên của chúng bằng C.

d) Cho $g:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^2$ là một ánh xạ affine từng khúc, đơn ánh sao cho $\overset{-1}{g}(C) =\{0,1\}$; đặt $P =g(\mathbf{I})$ và $D = C\cup P$. Chứng minh rằng $C-(C\cap P)$ có hai thành phần liên thông; gọi chúng là $P_1$ và $P_2$. Chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ D có ba thành phần liên thông và các biên của chúng bằng C, $P_1\cup P$ và $P_2\cup P$.

e) Cho G là một đồ thị phẳng hữu hạn; gọi S là tập hợp các đỉnh của nó và A là tập hợp các cạnh định hướng của nó. Cho $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^2$ là một ánh xạ liên tục đơn ánh affine từng khúc và gọi P là ảnh của nó. Chứng minh rằng số các thành phần liên thông của $\mathbf{R}^2-$ P bằng 1 + Card(S) $-$ Card(A) + Card($\pi_0(G)$).