Exercice 20, § 5

Soit $f:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^2$ un lacet affine par morceaux dont la restriction à $[0,1[$ est injective ; notons $C =f(\mathbf{I})$.

a) Démontrer que $\mathbf{R}^2-$ C a au plus deux composantes connexes.

b) Pour $x\in \mathbf{R}^2-$ C et $v\in \mathbf{S}_1$, on note $n_v(x)$ le nombre de composantes connexes de $(\mathbf{R}^2-C)\cap (x+\mathbf{R}_+v)$. Démontrer qu’il existe une unique application localement constante $n:\mathbf{R}^2-C\rightarrow \{0,1\}$ telle que $n(x)\equiv n_v(x)$ (mod$.2$) pour tout $v\in \mathbf{S}_1$.

c) En déduire que $\mathbf{R}^2-$ C possède exactement deux composantes connexes et que leurs frontières sont égales à C.

d) Soit $g:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^2$ une application affine par morceaux, injective telle que $\overset{-1}{g}(C) =\{0,1\}$; on pose $P =g(\mathbf{I})$ et $D = C\cup P$. Démontrer que $C-(C\cap P)$ possède deux composantes connexes ; notons-les $P_1$ et $P_2$. Démontrer que $\mathbf{R}^2-$ D possède trois composantes connexes et que leurs frontières sont égales à C, $P_1\cup P$ et $P_2\cup P$.

e) Soit G un graphe fini planaire ; soit S l’ensemble de ses sommets et A l’ensemble de ses arêtes orientées. Soit $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^2$ une application continue injective affine par morceaux et soit P son image. Démontrer que le nombre de composantes connexes de $\mathbf{R}^2-$ P est égal à 1 + Card(S) $-$ Card(A) + Card($\pi_0(G)$).