Bài tập 23, § 5

Cho $u$ và $v$ là hai điểm của $\mathbf{S}_1$ sao cho $\mathscr{I}(v/u)>0$; ta định nghĩa một họ $(a_j)_{j\in\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}}$ bởi $a_1=u,a_2=v,a_3=-u$ và $a_4=-v$. Gọi $Q_1$ và $Q_2$ là hai đoạn $[a_1, a_3]$ và $[a_2, a_4]$ trong đĩa đơn vị $\mathbf{B}_2$ và đặt $Q = Q_1\cup Q_2$.

a) Chứng minh rằng, với mọi $j\in \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, tồn tại duy nhất một thành phần liên thông theo cung $A_j\in \pi_0(\mathbf{B}_2-$ Q) mà bao đóng của nó chứa $a_j$ và $a_{j-1}$. Chứng minh rằng hợp của họ $(A_j)$ bằng $\mathbf{B}_2-$ Q.

Đặt $C =\mathbf{B}_2\times [-1,1]$, $N = (0,0,1)$ và $S = (0,0,-1)$. Cho $f: [-1,1]\rightarrow$ $\mathbf{R}_+$ là một ánh xạ liên tục sao cho $f(-1) =f(1) = 0$ và $0< f(t)<1$ với mọi $t\in ]-1; 1[$. Gọi $L_1$ và $L_2$ là ảnh của các ánh xạ từ $[-1,1]$ vào $C$ cho bởi $t\mapsto (ta_1,0)$ và $t\mapsto (ta_2, f(t))$ tương ứng; cuối cùng đặt $L = L_1\cup L_2$.

b) Chứng minh rằng $C-L$ liên thông theo cung.

c) Một đường đi $c$ trong $C-L$, có điểm đầu $N$ và điểm cuối $S$, được gọi là chính trực nếu tồn tại các đường đi ghép nối $c_1$ và $c_2$ trong $\mathbf{B}_2$ sao cho $c$ là đường đi ghép nối của các đường đi cho bởi $t\mapsto (c_1(t),1),t\mapsto (c_1(1),1-2t)$ và $t\mapsto$ $(c_2(t),-1)$. Chứng minh rằng khi đó $c_1(1)\notin Q$; ký hiệu $A_c$ là thành phần liên thông theo cung của $\mathbf{B}_2-$ Q chứa điểm này.

d) Cho $c$ và $c'$ là các đường đi trong $C-L$, có điểm đầu $N$ và điểm cuối $S$; giả sử rằng chúng là chính trực. Chứng minh rằng chúng đồng luân nghiêm ngặt khi và chỉ khi $A_c= A_{c'}$.

e) Với mọi $j\in \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, cho $c_j$ là một đường đi trong $C-L$, có điểm đầu $N$ và điểm cuối $S$, chính trực và sao cho $A_{c_j}= A_j$. Chứng minh hệ thức

trong nhóm $\pi_1(C-L,N)$.

f) Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc từ nhóm tự do trên hai phần tử sinh $x, y$ vào $\pi_1(C-L,N)$, ánh xạ $x$ và $y$ lần lượt vào $[c_1][c_2]^{-1}$ và $[c_2][c_3]^{-1}$, là một đẳng cấu nhóm. (Áp dụng định lý van Kampen cho phủ của $C - L$ tạo bởi tám tập đóng bị chặn bởi ba mặt phẳng vectơ của $\mathbf{R}^3$ chứa hai trong các điểm của tập hợp $\{a_1, a_2,N\}.$)