Exercice 23, § 5

Soient $u$ et $v$ deux points de $\mathbf{S}_1$ tels que $\mathscr{I}(v/u)>0$ ; on définit une famille $(a_j)_{j\in\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}}$ par $a_1=u,a_2=v,a_3=-u$ et $a_4=-v$. Notons $Q_1$ et $Q_2$ les deux segments $[a_1, a_3]$ et $[a_2, a_4]$ dans le disque unité $\mathbf{B}_2$ et posons $Q = Q_1\cup Q_2$.

a) Démontrer que, pour tout $j\in \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, il existe une unique composante connexe par arcs $A_j\in \pi_0(\mathbf{B}_2-$ Q) dont l’adhérence contient $a_j$ et $a_{j-1}$. Démontrer que la réunion de la famille $(A_j)$ est égale à $\mathbf{B}_2-$ Q.

Posons $C =\mathbf{B}_2\times [-1,1]$, $N = (0,0,1)$ et $S = (0,0,-1)$. Soit $f: [-1,1]\rightarrow$ $\mathbf{R}_+$ une application continue telle que $f(-1) =f(1) = 0$ et $0< f(t)<1$ pour tout $t\in ]-1; 1[$. Notons alors $L_1$ et $L_2$ les images des applications de $[-1,1]$ dans C données par $t\mapsto (ta_1,0)$ et $t\mapsto (ta_2, f(t))$ respectivement ; on pose enfin $L = L_1\cup L_2$.

b) Démontrer que C-L est connexe par arcs.

c) On dit qu’un chemin $c$ dans C-L, d’origine N et de terme S, est franc s’il existe des chemins juxtaposables $c_1$ et $c_2$ dans $\mathbf{B}_2$ tels que $c$ soit le chemin juxtaposé des chemins donnés par $t\mapsto (c_1(t),1),t\mapsto (c_1(1),1-2t)$ et $t\mapsto$ $(c_2(t),-1)$. Démontrer qu’alors $c_1(1)\notin Q$; on note $A_c$ la composante connexe par arcs de $\mathbf{B}_2-$ Q qui contient ce point.

d) Soient $c$ et $c'$ des chemins dans C-L, d’origine N et de terme S ; supposons qu’ils soient francs. Démontrer qu’ils sont strictement homotopes si et seulement si $A_c= A_{c'}$.

e) Pour tout $j\in \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, soit $c_j$ un chemin dans C-L, d’origine N et de terme S, franc et tel que $A_{c_j}= A_j$. Démontrer la relation

dans le groupe $\pi_1(C-L,N)$.

f) Démontrer que l’homomorphisme canonique du groupe libre à deux générateurs $x, y$ dans $\pi_1(C-L,N)$ qui applique $x$ et $y$ sur $[c_1][c_2]^{-1}$ et $[c_2][c_3]^{-1}$ respectivement est un isomorphisme de groupes. (Appliquer le théorème de van Kampen au recouvrement de C - L formé des huit ensembles fermés délimités par les trois plans vectoriels de $\mathbf{R}^3$ contenant deux des points de l’ensemble $\{a_1, a_2,N\}.$)