Bài tập 24, § 5

Cho $m$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và cho $(\theta_j)_{1\leqslant j\leqslant m}$ là một dãy các số thực sao cho $0\leqslant \theta_1< \theta_2<\cdots < \theta_n<2\pi$. Với $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, đặt $a_j=$ exp($i\theta_k$), trong đó $k$ là phần tử duy nhất của ${1, . . . , n}$ thuộc lớp $j$; ta cũng ký hiệu bởi $Q_j$ đoạn $[0, a_j]$ của $\mathbf{B}_2$. Cuối cùng đặt $Q = Q_1\cup \cdots \cup Q_m$.

a) Với $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, chứng minh rằng tồn tại một thành phần liên thông bằng đường duy nhất $A_j$ của $\mathbf{B}_2-$ Q chứa mọi điểm $b\in \mathbf{S}_1$ sao cho $\mathscr{I}(b/a_j)>0$ và $\mathscr{I}(b/a_{j+1})<0$. Chứng minh rằng họ $(A_j)$ gồm các tập hợp từng đôi một rời nhau và hợp của chúng bằng $\mathbf{B}_2-$ Q.

b) Đặt $C =\mathbf{B}_2\times [-1,1]$, $N = (0,0,1)$, $S = (0,0,-1)$, và $L = Q\times {0}$. Một đường đi trong C-L, có điểm đầu là N và điểm cuối là S, được gọi là đơn nếu tồn tại các đường đi $c_1$ và $c_2$ trong $\mathbf{B}_2$, có thể ghép được với nhau, sao cho $c$ là phép ghép nối của các đường đi cho bởi $t\mapsto (c_1(t),1),t\mapsto (c_1(1),1-2t)$ và $t\mapsto (c_2(t),-1)$. Chứng minh rằng khi đó $c_1(1)\notin Q$; ký hiệu bởi $A_c$ thành phần liên thông bằng đường của $\mathbf{B}_2-$ Q chứa điểm này.

c) Cho $c$ và $c'$ là các đường đi trong C-L, có điểm đầu là N và điểm cuối là S; giả sử rằng chúng là đơn. Chứng minh rằng chúng đồng luân chặt với nhau khi và chỉ khi $A_c= A_{c'}$.

d) Với mỗi $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, cho $c_j$ là một vòng trong C-L, có điểm đầu là N và điểm cuối là S, đơn và sao cho $A_{c_j}= A_j$. Chứng minh rằng đồng cấu từ nhóm tự do $F(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})$ vào $\pi_1(C-L,N)$ ánh xạ $x_j$ lên $[c_j][c_{j+1}]^{-1}$, với $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, là toàn ánh, và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa tích $x_1x_2. . . x_m$.