Exercice 24, § 5

Soit $m$ un entier $\geqslant 1$ et soit $(\theta_j)_{1\leqslant j\leqslant m}$ une suite de nombres réels telle que $0\leqslant \theta_1< \theta_2<\cdots < \theta_n<2\pi$. Pour $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, on pose $a_j=$ exp($i\theta_k$), où $k$ est l’unique élément de $\{1, . . . , n\}$ appartenant à la classe $j$; on note aussi $Q_j$ le segment $[0, a_j]$ de $\mathbf{B}_2$. On pose enfin $Q = Q_1\cup \cdots \cup Q_m$.

a) Pour $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, démontrer qu’il existe une unique composante connexe par arcs $A_j$ de $\mathbf{B}_2-$ Q qui contient tout point $b\in \mathbf{S}_1$ tel que $\mathscr{I}(b/a_j)>0$ et $\mathscr{I}(b/a_{j+1})<0$. Démontrer que la famille $(A_j)$ est formée d’ensembles deux à deux disjoints et que sa réunion est égale à $\mathbf{B}_2-$ Q.

b) On pose $C =\mathbf{B}_2\times [-1,1]$, $N = (0,0,1)$, $S = (0,0,-1)$, et $L = Q\times \{0\}$. On dit qu’un chemin dans C-L, d’origine N et de terme S, est franc s’il existe des chemins $c_1$ et $c_2$ dans $\mathbf{B}_2$, juxtaposables, tels que $c$ soit le chemin juxtaposé des chemins donnés par $t\mapsto (c_1(t),1),t\mapsto (c_1(1),1-2t)$ et $t\mapsto (c_2(t),-1)$. Démontrer qu’alors $c_1(1)\notin Q$; on note $A_c$ la composante connexe par arcs de $\mathbf{B}_2-$ Q qui contient ce point.

c) Soient $c$ et $c'$ des chemins dans C-L, d’origine N et de terme S ; supposons qu’ils soient francs. Démontrer qu’ils sont strictement homotopes si et seulement si $A_c= A_{c'}$.

d) Pour tout $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, soit $c_j$ un lacet dans C-L, d’origine N et de terme S, qui est franc et tel que $A_{c_j}= A_j$. Démontrer que l’homomorphisme du groupe libre $F(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})$ dans $\pi_1(C-L,N)$ qui applique $x_j$ sur $[c_j][c_{j+1}]^{-1}$, pour $j\in \mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$, est surjectif, et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué qui contient le produit $x_1x_2. . . x_m$.