Bài tập 25, § 5

Đặt $C =\mathbf{B}_2\times [-1,1]$. Cho K là một không gian con đóng của $\mathbf{R}^3$ và cho P là ảnh của nó qua phép chiếu được cho bởi $(x, y, z)\mapsto (x, y)$. Giả sử tồn tại một tập hữu hạn I, một họ $(p_i)_{i\in I}$ các điểm của $\mathbf{R}^2$, một họ $(r_i)_{i\in I}$ các số thực dương ngặt và một họ $(m_i)_{i\in I}$ các số nguyên tự nhiên thỏa mãn các tính chất sau, trong đó $\varphi_i$ ký hiệu ánh xạ từ $\mathbf{R}^3$ vào $\mathbf{R}^3$ được cho bởi $x\mapsto (p_i,0) +r_ix$ và $C_i=\varphi_i(C)$ :

– Các tập hợp $C_i$ từng đôi một rời nhau ;

– Với mọi $i\in I$, tập hợp $L_i=\overset{-1}{\varphi_{i}}(C_i\cap K)$ là không gian con L được xác định trong bài tập 23 nếu $m_i= 0$ và trong bài tập 24 (trong đó đặt $m=m_i$) nếu $m_i\geqslant 1$.

– Tập hợp $K'= K-\bigcup_i(\mathring{C}_i\cap K)$ là hợp của một họ hữu hạn các đoạn đóng từng đôi một rời nhau trong mặt phẳng $\mathbf{R}^2\times \{0\}$.

Cho $N = (x_N, y_N, z_N)$ và $S = (x_S, y_S, z_S)$ là các điểm của $\mathbf{R}^3$ sao cho $z_N>$ sup($r_i$)$_{i\in I}$ và $z_S<-$ sup($r_i$)$_{i\in I}$.

a) Một đường đi $c$ trong $\mathbf{R}^3-$K có điểm đầu N và điểm cuối S được gọi là thẳng thắn nếu tồn tại các đường đi $c_1$ và $c_2$ trong $\mathbf{R}^2$, ghép nối với nhau, sao cho $c$ là đường đi ghép nối của các đường đi được cho bởi $t\mapsto (c_1(t), z_N),t\mapsto (c_1(1),(1-t)z_N+tz_S)$, và $t\mapsto (c_2(t), z_S)$.

Chứng minh rằng khi đó điểm $c_1(1)$ không thuộc P ; ký hiệu $A_c$ là thành phần liên thông đường đi của $\mathbf{R}^2-$ P chứa điểm này. Chứng minh rằng hai đường đi thẳng thắn $c$ và $c'$ đồng luân ngặt khi và chỉ khi $A_c= A_{c'}$.

Với mỗi thành phần liên thông đường đi $\alpha$ của $\mathbf{R}^2-$ P, cố định một đường đi $c(\alpha )$ trong $\mathbf{R}^2-$ K, có điểm đầu N và điểm cuối S, là thẳng thắn và sao cho $A_{c(\alpha)}=\alpha$.

(b) Cho $i\in I$ sao cho $m_i= 0$, khi đó $\overset{-1}{\varphi_{i}}(K\cap C_i)$ là tập hợp L được định nghĩa trong Bài tập 23, mà các ký hiệu của nó ta lấy lại; ta có $\overset{-1}{\varphi_{i}}(P\times {0} \cap$ $C_i) = Q\times {0}$. Với mọi $j\in \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, ký hiệu $\alpha_{i,j}$ là thành phần liên thông đường đi của $\mathbf{R}^2-$ P chứa ảnh qua $\varphi_i$ của thành phần liên thông $A_j$ của $\mathbf{B}_2-$ P. Chứng minh rằng ta có $[c(\alpha_{i,1})][c(\alpha_{i,4})]^{-1}= [c(\alpha_{i,2})][c(\alpha_{i,3})]^{-1}$ trong $\pi_1(\mathbf{R}^3-K,N)$.

(c) Cho $\omega$ là một phần tử của $\pi_0(\mathbf{R}^2-$ P). Cho $\lambda_{\omega}: F(\pi_0(\mathbf{R}^2-P))\rightarrow \pi_1(\mathbf{R}^3-K,N)$ là đồng cấu nhóm duy nhất sao cho, với $\alpha \in \pi_0(\mathbf{R}^2-$ P), ánh xạ phần tử $x_{\alpha}$ lên $[c(\alpha )][c(\omega )]^{-1}$.

Chứng minh rằng đồng cấu nhóm $\lambda_{\omega}$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn nhỏ nhất của $F(\pi_0(\mathbf{R}^2-$ P)) chứa phần tử $x_{\omega}$ và các phần tử $x^{-1}_{\alpha_{i,1}}x_{\alpha_{i,2}}x^{-1}_{\alpha_{i,3}}x_{\alpha_{i,4}}$, với $i\in I$ sao cho $m_i= 0$.

(d) Với mọi đoạn $s$ thuộc về $\pi_0(K')$, ta chọn các phần tử $\alpha_s$ và $\alpha '_s$ của $\pi_0(\mathbf{R}^2-$ P) sao cho tập hợp các thành phần liên thông của $\mathbf{R}^2-$ P mà bao đóng chứa $s$ bằng ${\alpha_s, \alpha '_s}$. Cho $\mu: F(\pi_0(K'))\rightarrow \pi_1(\mathbf{R}^3$ $K,N)$ là đồng cấu nhóm duy nhất sao cho, với $s\in \pi_0(K')$, ánh xạ phần tử $x_s$ lên $[c(\alpha_s)][c(\alpha '_s)]^{-1}$. Chứng minh rằng $\mu$ là toàn ánh. Với $i\in I$ sao cho $m_i= 0$ và $j\in {1,2,3,4}$, ký hiệu $s_{i,j}$ là đoạn duy nhất của $\pi_0(K')$ sao cho $\varphi_i(a_j)$ gặp $s_{i,j}$. Chứng minh rằng tồn tại các phần tử $u_i, v_i, w_i$ của ${-1,1}$ sao cho $\mu(x_{s_{i,4}}) =\mu(x^{w_i}_{s_{i,2}})$ và $\mu(x_{s_{i,3}}) =\mu(x^{-u_i}_{s_{i,2}}x^{v_i}_{s_{i,1}}x^{u_i}_{s_{i,2}})$. Chứng minh rằng hạt nhân của $\mu$ là nhóm con chuẩn nhỏ nhất của $F(\pi_0(K'))$ chứa các phần tử $x_{s_{i,3}}x^{-u_i}_{s_{i,2}}x^{-v_i}_{s_{i,1}}x^{u_i}_{s_{i,2}}$ và $x_{s_{i,4}}x^{-w_i}_{s_{i,2}}$ với $i\in I$.

(e) Ta đặt

1

$k=$ Card($\pi_0(K)$)$-$ Card(${i\in I|m_i>0}$) $+\sum m_i$.

Chứng minh rằng $k\in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng thương của $\pi_1(\mathbf{R}^3-$ K) bởi nhóm con dẫn xuất của nó là đẳng cấu với $\mathbf{Z}^k$.