Exercice 25, § 5

On pose $C =\mathbf{B}_2\times [-1,1]$. Soit K un sous-espace fermé de $\mathbf{R}^3$ et soit P son image par la projection donnée par $(x, y, z)\mapsto (x, y)$. On suppose qu’il existe un ensemble fini I, une famille $(p_i)_{i\in I}$ de points de $\mathbf{R}^2$, une famille $(r_i)_{i\in I}$ de nombres réels strictement positifs et une famille $(m_i)_{i\in I}$ d’entiers naturels vérifiant les propriétés suivantes, où $\varphi_i$ désigne l’application de $\mathbf{R}^3$ dans $\mathbf{R}^3$ donnée par $x\mapsto (p_i,0) +r_ix$ et $C_i=\varphi_i(C)$ :

– Les ensembles $C_i$ sont deux à deux disjoints ;

– Pour tout $i\in I$, l’ensemble $L_i=\overset{-1}{\varphi_{i}}(C_i\cap K)$ est le sous-espace L défini dans l’exercice 23 si $m_i= 0$ et dans l’exercice 24 (où l’on pose $m=m_i$) si $m_i\geqslant 1$.

– L’ensemble $K'= K-\bigcup_i(\mathring{C}_i\cap K)$ est la réunion d’une famille finie de segments fermés deux à deux disjoints dans le plan $\mathbf{R}^2\times \{0\}$.

Soient $N = (x_N, y_N, z_N)$ et $S = (x_S, y_S, z_S)$ des points de $\mathbf{R}^3$ tels que $z_N>$ sup($r_i$)$_{i\in I}$ et $z_S<-$ sup($r_i$)$_{i\in I}$.

a) On dit qu’un chemin $c$ dans $\mathbf{R}^3-$K d’origine N et de terme S est franc s’il existe des chemins $c_1$ et $c_2$ dans $\mathbf{R}^2$, juxtaposables, tels que $c$ soit le chemin juxtaposé des chemins donnés par $t\mapsto (c_1(t), z_N),t\mapsto (c_1(1),(1-t)z_N+tz_S)$, et $t\mapsto (c_2(t), z_S)$.

Démontrer qu’alors le point $c_1(1)$ n’appartient pas à P ; on note $A_c$ la composante connexe par arcs de $\mathbf{R}^2-$ P qui contient ce point. Démontrer que deux chemins francs $c$ et $c'$ sont strictement homotopes si et seulement si $A_c= A_{c'}$.

Pour toute composante connexe par arcs $\alpha$ de $\mathbf{R}^2-$ P, on fixe un chemin $c(\alpha )$ dans $\mathbf{R}^2-$ K, d’origine N et de terme S qui est franc et tel que $A_{c(\alpha)}=\alpha$.

b) Soit $i\in I$ tel que $m_i= 0$, de sorte que $\overset{-1}{\varphi_{i}}(K\cap C_i)$ est l’ensemble L défini dans l’exercice 23, dont on reprend les notations ; on a $\overset{-1}{\varphi_{i}}(P\times \{0\} \cap$ $C_i) = Q\times \{0\}$. Pour tout $j\in \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$, notons $\alpha_{i,j}$ la composante connexe par arcs de $\mathbf{R}^2-$ P qui contient l’image par $\varphi_i$ de la composante connexe $A_j$ de $\mathbf{B}_2-$ P. Démontrer que l’on a $[c(\alpha_{i,1})][c(\alpha_{i,4})]^{-1}= [c(\alpha_{i,2})][c(\alpha_{i,3})]^{-1}$ dans $\pi_1(\mathbf{R}^3-K,N)$.

c) Soit $\omega$ un élément de $\pi_0(\mathbf{R}^2-$ P). Soit $\lambda_{\omega}: F(\pi_0(\mathbf{R}^2-P))\rightarrow \pi_1(\mathbf{R}^3-K,N)$ l’unique homomorphisme de groupes qui, pour $\alpha \in \pi_0(\mathbf{R}^2-$ P), applique l’élément $x_{\alpha}$ sur $[c(\alpha )][c(\omega )]^{-1}$.

Démontrer que l’homomorphisme $\lambda_{\omega}$ est surjectif et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué de $F(\pi_0(\mathbf{R}^2-$ P)) qui contient l’élément $x_{\omega}$ et les éléments $x^{-1}_{\alpha_{i,1}}x_{\alpha_{i,2}}x^{-1}_{\alpha_{i,3}}x_{\alpha_{i,4}}$, pour $i\in I$ tel que $m_i= 0$.

d) Pour tout segment $s$ appartenant à $\pi_0(K')$, on choisit des éléments $\alpha_s$ et $\alpha '_s$ de $\pi_0(\mathbf{R}^2-$ P) tels que l’ensemble des composantes connexes de $\mathbf{R}^2-$ P dont l’adhérence contient $s$ soit égal à $\{\alpha_s, \alpha '_s\}$. Soit $\mu: F(\pi_0(K'))\rightarrow \pi_1(\mathbf{R}^3$ $K,N)$ l’unique homomorphisme de groupes qui, pour $s\in \pi_0(K')$, applique l’élément $x_s$ sur $[c(\alpha_s)][c(\alpha '_s)]^{-1}$. Démontrer que $\mu$ est surjectif. Pour $i\in I$ tel que $m_i= 0$ et $j\in \{1,2,3,4\}$, on note $s_{i,j}$ l’unique segment de $\pi_0(K')$ tel que $\varphi_i(a_j)$ rencontre $s_{i,j}$. Prouver qu’il existe des éléments $u_i, v_i, w_i$ de $\{-1,1\}$ tels que $\mu(x_{s_{i,4}}) =\mu(x^{w_i}_{s_{i,2}})$ et $\mu(x_{s_{i,3}}) =\mu(x^{-u_i}_{s_{i,2}}x^{v_i}_{s_{i,1}}x^{u_i}_{s_{i,2}})$. Démontrer que le noyau de $\mu$ est le plus petit sous-groupe distingué de $F(\pi_0(K'))$ qui contient les éléments $x_{s_{i,3}}x^{-u_i}_{s_{i,2}}x^{-v_i}_{s_{i,1}}x^{u_i}_{s_{i,2}}$ et $x_{s_{i,4}}x^{-w_i}_{s_{i,2}}$ pour $i\in I$.

e) On pose

1

$k=$ Card($\pi_0(K)$)$-$ Card($\{i\in I|m_i>0\}$) $+\sum m_i$.

Prouver que $k\in \mathbf{N}$. Démontrer que le quotient de $\pi_1(\mathbf{R}^3-$ K) par son sous-groupe dérivé est isomorphe à $\mathbf{Z}^k$.