Bài tập 26, § 5

Trong mặt phẳng số $\mathbf{R}^2$, ký hiệu $D_0$ là đĩa tâm $(0,0)$ bán kính 1 và $C_0$ là biên của nó; đặt $a_0= (-1,0)$. Cho $g$ là một số tự nhiên $\geqslant 1$, cho $r$ là một số thực dương ngặt và cho $(v_1, . . . , v_g)$ là một dãy số thực sao cho $r <$ inf($v_1+ 1,(v_2-v_1)/2, . . . ,(v_g-v_{g-1})/2,1-v_g$). Với mọi $j\in \{1, . . . , g\}$, ký hiệu $D_j$ là đĩa đóng tâm $(0, v_j)$ bán kính $r$ và $C_j$ là đường tròn tâm $(0, v_j)$ bán kính $r$; đồng thời đặt $a_j= (-r, v_j)$. Gọi X là không gian D $-\bigcup^g_{j=1}\mathring{D}_j$.

Với mọi $j\in \{1, . . . , j\}$, ký hiệu $u_j$ là lớp trong $\varpi (X)$ của một đường đi có gốc là $a_0$ và điểm cuối là $a_j$ mà ảnh là đoạn $[a_0, a_j]$; cũng ký hiệu $c_j\in \pi_1(X, a_j)$ là lớp của vòng cho bởi $t\mapsto (-r$ cos(2$\pi t$)$,-r$ sin(2$\pi t$)$+v_j)$ và $\gamma_j=u_jc_ju^{-1}_j$.

a) Gọi $\gamma_0$ là lớp của vòng trong X cho bởi $t\mapsto (-$ cos(2$\pi t$)$,-$ sin(2$\pi t$)). Chứng minh rằng ta có $\gamma_0=\gamma_1. . . \gamma_g$.

b) Chứng minh rằng đồng cấu duy nhất từ nhóm tự do với $g$ phần tử sinh $x_1, . . . , x_j$ vào $\pi_1(X, a_0)$ biến $x_j$ thành $\gamma_j$ là một đẳng cấu nhóm. (Áp dụng định lý van Kampen cho phủ của X được xác định bởi các giao của nó với các nửa mặt phẳng $\mathbf{R}_+\times \mathbf{R}$ và $\mathbf{R}_-\times \mathbf{R}.$)

c) Cho $f: X\rightarrow \mathbf{R}_+$ là một hàm liên tục sao cho $\overset{-1}{f}(0) =\bigcup^g_{j=0}C_j$ và gọi Y là không gian con của $\mathbf{R}^3$ tạo bởi các điểm $(x, y, z)$ sao cho $z^2=f(x, y)$. Ký hiệu $i_+$ (ứng với $i_-$) là ánh xạ liên tục từ X vào Y cho bởi $(x, y)\mapsto$ $(x, y,\surd f(x, y))$ (ứng với $(x, y)\mapsto (x, y,-\surd f(x, y))$). Với mọi lớp đường đi $\gamma$ trong X, định nghĩa các lớp đường đi trong $\varpi (Y)$ bởi $\gamma^+= (i_+)_*(\gamma )$ và $\gamma^-= (i_-)_*(\gamma )$.

Với mọi $j\in \{1, . . . , g\}$, sau cùng ta định nghĩa một phần tử của $\pi_1(Y, a_0)$ bởi $\delta_j=u^+_ju^-_j$. Chứng minh rằng ta có các hệ thức $\gamma^+_j\delta_j=\delta_j\gamma_j^-$ với $1\leqslant j\leqslant g$, và $\gamma_1^+. . . \gamma_g^+=\gamma_1^-. . . \gamma^-_g$.

d) Cho $\varphi$ là đồng cấu duy nhất từ một nhóm tự do F với $2g$ phần tử sinh $x_1, . . . , x_g, y_1, . . . , y_g$ vào $\pi_1(Y, a_0)$, đồng cấu này gửi $x_j$ lên $\gamma_j^+$ và $y_j$ lên $\delta_j$. Chứng minh rằng đồng cấu $\varphi$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn nhỏ nhất của F chứa phần tử

(Áp dụng định lý van Kampen cho phủ của Y được xác định bởi các giao của nó với các nửa không gian $\mathbf{R}^2\times \mathbf{R}_+$ và $\mathbf{R}^2\times \mathbf{R}_-.$)

e) Cho $\varphi '$ là đồng cấu duy nhất từ một nhóm tự do F với $2g$ phần tử sinh $x_1, . . . , x_g, y_1, . . . , y_g$ vào $\pi_1(Y, a_0)$, đồng cấu này, với mọi $j$, gửi $x_j$ lên

và $y_j$ lên $\gamma_j^+$. Chứng minh rằng đồng cấu $\varphi '$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn nhỏ nhất của F chứa phần tử