Exercice 26, § 5

Dans le plan numérique $\mathbf{R}^2$, on note $D_0$ le disque de centre $(0,0)$ et de rayon 1 et $C_0$ sa frontière ; on pose $a_0= (-1,0)$. Soit $g$ un entier naturel $\geqslant 1$, soit $r$ un nombre réel strictement positif et soit $(v_1, . . . , v_g)$ une suite de nombres réels telle que $r <$ inf($v_1+ 1,(v_2-v_1)/2, . . . ,(v_g-v_{g-1})/2,1-v_g$). Pour tout $j\in \{1, . . . , g\}$, on désigne par $D_j$ le disque fermé de centre $(0, v_j)$ et de rayon $r$ et par $C_j$ le cercle de centre $(0, v_j)$ et de rayon $r$; on pose aussi $a_j= (-r, v_j)$. Soit X l’espace D $-\bigcup^g_{j=1}\mathring{D}_j$.

Pour tout $j\in \{1, . . . , j\}$, on note $u_j$ la classe dans $\varpi (X)$ d’un chemin d’origine $a_0$ et de terme $a_j$ dont l’image est le segment $[a_0, a_j]$; notons aussi $c_j\in \pi_1(X, a_j)$ la classe du lacet donné par $t\mapsto (-r$ cos(2$\pi t$)$,-r$ sin(2$\pi t$)$+v_j)$ et $\gamma_j=u_jc_ju^{-1}_j$.

a) Soit $\gamma_0$ la classe du lacet dans X donné par $t\mapsto (-$ cos(2$\pi t$)$,-$ sin(2$\pi t$)). Démontrer que l’on a $\gamma_0=\gamma_1. . . \gamma_g$.

b) Démontrer que l’unique homomorphisme du groupe libre à $g$ générateurs $x_1, . . . , x_j$ dans $\pi_1(X, a_0)$ qui applique $x_j$ sur $\gamma_j$ est un isomorphisme de groupes. (Appliquer le théorème de van Kampen au recouvrement de X défini par ses intersections avec les demi-plans $\mathbf{R}_+\times \mathbf{R}$ et $\mathbf{R}_-\times \mathbf{R}.$)

c) Soit $f: X\rightarrow \mathbf{R}_+$ une fonction continue telle que $\overset{-1}{f}(0) =\bigcup^g_{j=0}C_j$ et soit Y le sous-espace de $\mathbf{R}^3$ formé des points $(x, y, z)$ tels que $z^2=f(x, y)$. On note $i_+$ (resp. $i_-$) l’application continue de X dans Y donnée par $(x, y)\mapsto$ $(x, y,\surd f(x, y))$ (resp. $(x, y)\mapsto (x, y,-\surd f(x, y))$). Pour toute classe de chemin $\gamma$ dans X, on définit des classes de chemins dans $\varpi (Y)$ par $\gamma^+= (i_+)_*(\gamma )$ et $\gamma^-= (i_-)_*(\gamma )$.

Pour tout $j\in \{1, . . . , g\}$, on définit enfin un élément de $\pi_1(Y, a_0)$ par $\delta_j=u^+_ju^-_j$. Démontrer que l’on a les relations $\gamma^+_j\delta_j=\delta_j\gamma_j^-$ pour $1\leqslant j\leqslant g$, et $\gamma_1^+. . . \gamma_g^+=\gamma_1^-. . . \gamma^-_g$.

d) Soit $\varphi$ l’unique homomorphisme d’un groupe libre F à $2g$ générateurs $x_1, . . . , x_g, y_1, . . . , y_g$ dans $\pi_1(Y, a_0)$ qui applique $x_j$ sur $\gamma_j^+$ et $y_j$ sur $\delta_j$. Démontrer que l’homomorphisme $\varphi$ est surjectif et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué de F qui contient l’élément

(Appliquer le théorème de van Kampen au recouvrement de Y défini par ses intersections avec les demi-espaces $\mathbf{R}^2\times \mathbf{R}_+$ et $\mathbf{R}^2\times \mathbf{R}_-.$)

e) Soit $\varphi '$ l’unique homomorphisme d’un groupe libre F à $2g$ générateurs $x_1, . . . , x_g, y_1, . . . , y_g$ dans $\pi_1(Y, a_0)$ qui, pour tout $j$, applique $x_j$ sur

et $y_j$ sur $\gamma_j^+$. Démontrer que l’homomorphisme $\varphi '$ est surjectif et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué de F qui contient l’élément