Bài tập 27, § 5

Cho D là đĩa đơn vị trong $\mathbf{C}$ và cho X là một không gian con của D là một lân cận của $\mathbf{S}_1$. Cho R là quan hệ tương đương mịn nhỏ nhất trong X sao cho, với $u, v\in \mathbf{S}_1$, đồng nhất các điểm $f(u)$ và $f(v)$ nếu $f(u) =f(v)$. Cho $p: X\rightarrow X/R$ là toàn cấu chính tắc. Cho T là một không gian tôpô compact và cho $f:\mathbf{S}_1\rightarrow T$ là một ánh xạ toàn ánh liên tục. Đặt $a=f(1)$ và ký hiệu bởi $\alpha \in \pi_1(T, a)$ lớp của vòng $t\mapsto f(e^{2\pi it})$ trong T.

a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ duy nhất $\sigma$ từ T vào $X/R$ sao cho $\sigma \circ f=p|_{\mathbf{S}_1}$. Chứng minh rằng $\sigma$ xác định một đồng phôi của T lên ảnh của nó $p(\mathbf{S}_1)$.

b) Cho $r$ là một số thực sao cho $0< r <1$; giả sử rằng X là tập hợp các $z\in D$ sao cho $r\leqslant |z|\leqslant 1$. Chứng minh rằng $X/R$ đồng phôi với hình trụ của ánh xạ $f$. Suy ra rằng đồng cấu $\sigma_*$ là một đẳng cấu nhóm từ $\pi_1(T, a)$ lên $\pi_1(X/R, p(1))$.

c) Giả sử rằng X = D. Chứng minh rằng $X/R$ đồng phôi với nón của ánh xạ $f$. Suy ra rằng đồng cấu nhóm $\sigma_*:\pi_1(T, a)\rightarrow \pi_1(X/R, p(1))$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn nhỏ nhất của $\pi_1(T, a)$ chứa $\alpha$.

d) Cho $r$ là một số thực sao cho $0< r <1$; cho $X_1$ là tập hợp các $z\in X$ sao cho $|z|\leqslant r$ và $X_2$ là tập hợp các $z\in D$ sao cho $r\leqslant |z|\leqslant 1$; giả sử rằng $X_2\subset X$. Cho $\beta \in \pi_1(X_2, r)$ là lớp của vòng được cho bởi $t\mapsto re^{2\pi it}$; cho $\delta \in \varpi_{p(r),p(1))}$ là lớp của đường đi được cho bởi $t\mapsto p((1-t)r+t)$.

Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất $\mu$ từ $\pi_1(T, a)*\pi_1(X_2, r)$ vào $\pi_1(X/R, p(1))$ trùng với đồng cấu $\sigma_*$ trong $\pi_1(T, a)$ và với đồng cấu $v\mapsto \delta^{-1}p_*(v)\delta$ trong $\pi_1(X_2, p(r))$. Chứng minh rằng $\mu$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn nhỏ nhất chứa $\alpha \beta^{-1}$.