Exercice 27, § 5

Soit D le disque unité dans $\mathbf{C}$ et soit X un sous-espace de D qui est un voisinage de $\mathbf{S}_1$. Soit R la relation d’équivalence la moins fine dans X qui, pour $u, v\in \mathbf{S}_1$, identifie les points $f(u)$ et $f(v)$ si $f(u) =f(v)$. Soit $p: X\rightarrow X/R$ la surjection canonique. Soit T un espace topologique compact et soit $f:\mathbf{S}_1\rightarrow T$ une application continue surjective. On pose $a=f(1)$ et on note $\alpha \in \pi_1(T, a)$ la classe du lacet $t\mapsto f(e^{2\pi it})$ dans T.

a) Démontrer qu’il existe une unique application $\sigma$ de T dans $X/R$ telle que $\sigma \circ f=p|_{\mathbf{S}_1}$. Démontrer que $\sigma$ définit un homéomorphisme de T sur son image $p(\mathbf{S}_1)$.

b) Soit $r$ un nombre réel tel que $0< r <1$ ; on suppose que X est l’ensemble des $z\in D$ tels que $r\leqslant |z|\leqslant 1$. Démontrer que $X/R$ est homéomorphe au cylindre de l’application $f$. En déduire que l’homomorphisme $\sigma_*$ est un isomorphisme de groupes de $\pi_1(T, a)$ sur $\pi_1(X/R, p(1))$.

c) On suppose que X = D. Démontrer que $X/R$ est homéomorphe au cône de l’application $f$. En déduire que l’homomorphisme de groupes $\sigma_*:\pi_1(T, a)\rightarrow \pi_1(X/R, p(1))$ est surjectif et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué de $\pi_1(T, a)$ qui contient $\alpha$.

d) Soit $r$ un nombre réel tel que $0< r <1$; soit $X_1$ l’ensemble des $z\in X$ tels que $|z|\leqslant r$ et $X_2$ l’ensemble des $z\in D$ tels que $r\leqslant |z|\leqslant 1$ ; on suppose que $X_2\subset X$. Soit $\beta \in \pi_1(X_2, r)$ la classe du lacet donné par $t\mapsto re^{2\pi it}$; soit $\delta \in \varpi_{p(r),p(1))}$ la classe du chemin donné par $t\mapsto p((1-t)r+t)$.

Démontrer qu’il existe un unique homomorphisme de groupes $\mu$ de $\pi_1(T, a)*\pi_1(X_2, r)$ dans $\pi_1(X/R, p(1))$ qui coïncide avec l’homomorphisme $\sigma_*$ dans $\pi_1(T, a)$ et avec l’homomorphisme $v\mapsto \delta^{-1}p_*(v)\delta$ dans $\pi_1(X_2, p(r))$. Démontrer que $\mu$ est surjectif et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué qui contient $\alpha \beta^{-1}$.