Bài tập 28, § 5

Cho X là một không gian tôpô. Người ta nói rằng một đồng luân $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ là một phép đẳng vị nếu, với mọi $t\in \mathbf{I}$, ánh xạ $x\mapsto \sigma (x, t)$ suy ra từ $\sigma$ bằng cách chuyển qua không gian con là một phép đồng phôi từ X lên chính nó.

a) Cho $m$ là một số tự nhiên và cho $f: X\rightarrow \mathbf{R}^n$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng tồn tại một phép đẳng vị có điểm đầu là ánh xạ đồng nhất của $X\times \mathbf{R}^n$ và có số hạng là ánh xạ từ $X\times \mathbf{R}^n$ vào $X\times \mathbf{R}^n$ được cho bởi $(x, y)\mapsto (x, y-f(x))$.

b) Cho A và B là các không gian con của X; người ta nói rằng A là đẳng vị với B nếu tồn tại một phép đẳng vị $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ có điểm đầu là ánh xạ đồng nhất của X và sao cho $f(A\times \{1\}) = B$.

Chứng minh rằng quan hệ “A là đẳng vị với B” là một quan hệ tương đương trong tập hợp các không gian con của X (tương ứng, trong tập hợp các không gian con đóng của X). c) Cho $m$ và $n$ là các số tự nhiên, cho A là một không gian con đóng của $\mathbf{R}^m$ và cho B là một không gian con đóng của $\mathbf{R}^n$. Giả sử rằng A và B là đồng phôi. Chứng minh rằng các không gian con $A\times \{0\}$ và $\{0\} \times B$ của $\mathbf{R}^{m+n}$ là đẳng vị.