Exercice 28, § 5

Soit X un espace topologique. On dit qu’une homotopie $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ est une isotopie si, pour tout $t\in \mathbf{I}$, l’application $x\mapsto \sigma (x, t)$ déduite de $\sigma$ par passage au sous-espace est un homéomorphisme de X sur lui-même.

a) Soit $m$ un entier naturel et soit $f: X\rightarrow \mathbf{R}^n$ une application continue. Démontrer qu’il existe une isotopie dont l’origine est l’application identique de $X\times \mathbf{R}^n$ et dont le terme est l’application de $X\times \mathbf{R}^n$ dans $X\times \mathbf{R}^n$ donnée par $(x, y)\mapsto (x, y-f(x))$.

b) Soient A et B des sous-espaces de X; on dit que A est isotope à B s’il existe une isotopie $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow X$ dont l’origine est l’application identique de X et telle que $f(A\times \{1\}) = B$.

Démontrer que la relation « A est isotope à B » est une relation d’équivalence dans l’ensemble des sous-espaces de X (resp. dans l’ensemble des sous-espaces fermés de X). c) Soient $m$ et $n$ des entiers naturels, soit A un sous-espace fermé de $\mathbf{R}^m$ et soit B un sous-espace fermé de $\mathbf{R}^n$. On suppose que A et B sont homéo-morphes. Démontrer que les sous-espaces $A\times \{0\}$ et $\{0\} \times B$ de $\mathbf{R}^{m+n}$ sont isotopes.