Bài tập 29, § 5

Cho A là một tập con đóng của $\mathbf{R}^2$ đồng phôi với một tập con đóng B của $\mathbf{R}$.

(a) Chứng minh rằng các không gian con $A\times \{0\}$ và $\{(0,0)\} \times B$ của $\mathbf{R}^3$ là đẳng vị.

(b) Giả sử B $=\not\mathbf{R}$; chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ A là liên thông cung. (c) Giả sử rằng $B =\mathbf{R}$; chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ A có đúng hai thành phần liên thông cung và rằng A là biên của mỗi thành phần đó. (d) Cho A là một tập con của $\mathbf{S}_2$ đồng phôi với $\mathbf{S}_1$; chứng minh rằng $\mathbf{S}_2-$ A có đúng hai thành phần liên thông cung và rằng A là biên của mỗi thành phần đó.

(e) Cho A là một tập con của $\mathbf{R}^2$ đồng phôi với $\mathbf{S}_1$; chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ A có đúng hai thành phần liên thông cung và rằng A là biên của mỗi thành phần đó.