Exercice 29, § 5

Soit A une partie fermée de $\mathbf{R}^2$ homéomorphe à une partie fermée B de $\mathbf{R}$.

a) Démontrer que les sous-espaces $A\times \{0\}$ et $\{(0,0)\} \times B$ de $\mathbf{R}^3$ sont isotopes.

b) On suppose que B $=\not\mathbf{R}$; démontrer que $\mathbf{R}^2-$ A est connexe par arcs. c) On suppose que $B =\mathbf{R}$; démontrer que $\mathbf{R}^2-$ A possède exactement deux composantes connexes par arcs et que A est la frontière de chacune d’elles. d) Soit A une partie de $\mathbf{S}_2$ homéomorphe à $\mathbf{S}_1$; démontrer que $\mathbf{S}_2-$ A possède exactement deux composantes connexes par arcs et que A est la frontière de chacune d’elles.

e) Soit A une partie de $\mathbf{R}^2$ homéomorphe à $\mathbf{S}_1$; démontrer que $\mathbf{R}^2-$ A possède exactement deux composantes connexes par arcs et que A est la frontière de chacune d’elles.