Bài tập 33, § 5

[^1] Cho L là một không gian con của$\surd \mathbf{R}^3$ như được định nghĩa trong Bài tập$\surd$ 23, trong đó ta lấy $u= (1-i)/$ 2 và $v= (1 +i)/$ 2. Cho $a$ và $r$ là các số thực sao cho $0<2r < a <1-2r$. Ta đặt $p_1= (0,-a),p_2= (0,0)$ và $p_3= (0, a);q_1= (-1,-a),q_2= (-1,0),q_3= (-1, a);q'_1= (1,-a)$, $q'_2= (1,0),q'_3= (1, a)$. Gọi K là hợp của các tập hợp $p_1+rL,p_2+rL$, $p_3+rL$ và của các đoạn $[q_1, p_1-rv]$, $[q_2, p_2-ru]$, $[q_3, p_3-ru]$, $[q'_1, p_1+ru]$, $[q'_2, p_3+ru]$, $[q'_3, p_3+rv]$.

Cho $(x_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ là một họ tăng ngặt các số thực sao cho $_n$lim$_{\rightarrow -\infty}x_n=-1$ và lim$_{n\rightarrow+\infty}x_n= 1$ ; với $n\in \mathbf{Z}$, ta đặt $z_n=y_n= 1- |x_n|$. Với $n\in \mathbf{Z}$, ta ký hiệu bởi $f_n$ ánh xạ từ $[-1,1]^3$ vào $\mathbf{R}^3$ được cho bởi

và ta đặt $A_n=f_n(K)$ và $B_n=f_n([-1,1]^3)$. Gọi A là hợp của họ $(A_n)_{n\in\mathbf{Z}}$.

a) Chứng minh rằng A đồng phôi với $[0,1]$. b) Với mọi số tự nhiên $m$, đặt

Chứng minh rằng $\mathbf{R}^3-A'_m$ liên thông theo cung và nhóm cơ bản của nó được sinh bởi các phần tử $a_n, b_n, c_n$ (với $n\in \mathbf{Z}$ sao cho $-m\leqslant n\leqslant m$) với các quan hệ $b_{-m}=c_{-m}a_{-m},c_{n+1}a_{n+1}=c_nc_{n+1},c_{n+1}b_n=a_nc_{n+1}$, $b_nc_{n+1}=b_{n+1}b_n$ (với $n\in \mathbf{Z}$ sao cho $-m\leqslant n < m$) và $c_ma_m=b_m$.

c) Chứng minh rằng $\mathbf{R}^3-$ A liên thông theo cung và nhóm cơ bản của nó được sinh bởi các phần tử $a_n, b_n, c_n$ (với $n\in \mathbf{Z}$) với các quan hệ

với $n\in \mathbf{Z}$.

d) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu từ $\pi_1(\mathbf{R}^3-$ A) vào nhóm $\mathfrak{S}_5$ biến lớp của $c_n$ thành phép hoán vị $(1,2,3,4,5)\mapsto$ $(2,3,4,5,1)$ nếu $n$ lẻ và thành phép hoán vị $(1,2,3,5,4)\mapsto (4,3,5,2,1)$ nếu $n$ chẵn. Suy ra rằng $\mathbf{R}^3-$ A không đơn liên theo cung.

[^1]: Ví dụ này là của E. Artin và R. Fox, « Some wild cells and spheres in three-dimensional space », Annals of Math. 49 (1948), p. 979–990.