Exercice 33, § 5

[^1] Soit L un sous-espace de$\surd \mathbf{R}^3$ comme défini dans l’exercice$\surd$ 23, où l’on prend $u= (1-i)/$ 2 et $v= (1 +i)/$ 2. Soient $a$ et $r$ des nombres réels tels que $0<2r < a <1-2r$. On pose $p_1= (0,-a),p_2= (0,0)$ et $p_3= (0, a);q_1= (-1,-a),q_2= (-1,0),q_3= (-1, a);q'_1= (1,-a)$, $q'_2= (1,0),q'_3= (1, a)$. Soit K la réunion des ensembles $p_1+rL,p_2+rL$, $p_3+rL$ et des segments $[q_1, p_1-rv]$, $[q_2, p_2-ru]$, $[q_3, p_3-ru]$, $[q'_1, p_1+ru]$, $[q'_2, p_3+ru]$, $[q'_3, p_3+rv]$.

Soit $(x_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ une famille strictement croissante de nombres réels telle que $_n$lim$_{\rightarrow -\infty}x_n=-1$ et lim$_{n\rightarrow+\infty}x_n= 1$ ; pour $n\in \mathbf{Z}$, on pose $z_n=y_n= 1- |x_n|$. Pour $n\in \mathbf{Z}$, on note $f_n$ l’application de $[-1,1]^3$ dans $\mathbf{R}^3$ donnée par

et l’on pose $A_n=f_n(K)$ et $B_n=f_n([-1,1]^3)$. Soit A la réunion de la famille $(A_n)_{n\in\mathbf{Z}}$.

a) Démontrer que A est homéomorphe à $[0,1]$. b) Pour tout entier naturel $m$, on pose

Démontrer que $\mathbf{R}^3-A'_m$ est connexe par arcs et que son groupe fondamental est engendré par des éléments $a_n, b_n, c_n$ (pour $n\in \mathbf{Z}$ tel que $-m\leqslant n\leqslant m$) sujets aux relations $b_{-m}=c_{-m}a_{-m},c_{n+1}a_{n+1}=c_nc_{n+1},c_{n+1}b_n=a_nc_{n+1}$, $b_nc_{n+1}=b_{n+1}b_n$ (pour $n\in \mathbf{Z}$ tel que $-m\leqslant n < m$) et $c_ma_m=b_m$.

c) Démontrer que $\mathbf{R}^3-$ A est connexe par arcs et que son groupe fondamental est engendré par des éléments $a_n, b_n, c_n$ (pour $n\in \mathbf{Z}$) sujets aux relations

pour $n\in \mathbf{Z}$.

d) Démontrer qu’il existe un homomorphisme de $\pi_1(\mathbf{R}^3-$ A) dans le groupe $\mathfrak{S}_5$ qui applique la classe de $c_n$ sur la permutation $(1,2,3,4,5)\mapsto$ $(2,3,4,5,1)$ si $n$ est impair et sur la permutation $(1,2,3,4,5)\mapsto (4,3,5,2,1)$ si $n$ est pair. En déduire que $\mathbf{R}^3-$ A n’est pas simplement connexe par arcs.

[^1]: Cet exemple est dû à E. Artin et R. Fox, « Some wild cells and spheres in three-dimensional space », Annals of Math. 49 (1948), p. 979–990.