Bài tập 34, § 5

Cho $X$ là một không gian tôpô liên thông bằng đường, cho $G$ là một nhóm rời rạc tác động liên tục bên trái lên $X$. Cho $M$ là một tập con mở của $X$ sao cho $G\cdot M = X$. Định nghĩa các tập hợp S, T, nhóm F và đồng cấu nhóm $\varphi : F\rightarrow G$ như trong Mệnh đề 10 của I, p. 136. Gọi $a$ là một điểm của M.

a) Cho $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ là một đường vòng tại $a$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất $g(c)$ của F thỏa mãn tính chất sau: với mọi số nguyên $n$ và mọi dãy $(s_1, . . . , s_n)$ các phần tử của S sao cho $c([(k-1)/n, k/n])\subset s_kM$ với mọi số nguyên $k\in \{1, . . . , n\}$, ta có $g(c) =x_{s^{-1}_ns_1}x_{s^{-1}_1s_2}. . . x_{s^{-1}_{n-1}s_n}$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất $\gamma$ từ $\pi_1(X, a)$ vào F sao cho $\gamma ([c]) =g(c)$ với mọi đường vòng $c$ trong X tại $a$.

c) Chứng minh rằng hạt nhân của $\varphi$ bằng ảnh của đồng cấu $\gamma$.

d) Chứng minh rằng hạt nhân của $\gamma$ được sinh bởi hợp các ảnh của các nhóm $\pi_1(M\cup s\cdot M, a)$, với $s\in S$.