Exercice 34, § 5

Soit X un espace topologique connexe par arcs, soit G un groupe discret opérant continûment à gauche dans X. Soit M une partie ouverte de X telle que $G\cdot M = X$. On définit les ensembles S, T, le groupe F et l’homomorphisme de groupes $\varphi : F\rightarrow G$ comme dans la prop. 10 de I, p. 136. Soit $a$ un point de M.

a) Soit $c:\mathbf{I}\rightarrow X$ un lacet en $a$. Démontrer qu’il existe un unique élément $g(c)$ de F vérifiant la propriété suivante : pour tout entier $n$ et toute suite $(s_1, . . . , s_n)$ d’éléments de S tels que $c([(k-1)/n, k/n])\subset s_kM$ pour tout entier $k\in \{1, . . . , n\}$, on a $g(c) =x_{s^{-1}_ns_1}x_{s^{-1}_1s_2}. . . x_{s^{-1}_{n-1}s_n}$.

b) Démontrer qu’il existe un unique homomorphisme de groupes $\gamma$ de $\pi_1(X, a)$ dans F tel que $\gamma ([c]) =g(c)$ pour tout lacet $c$ dans X en $a$.

c) Démontrer que le noyau de $\varphi$ est égal à l’image de l’homomorphisme $\gamma$. d) Démontrer que le noyau de $\gamma$ est engendré par la réunion des images des groupes $\pi_1(M\cup s\cdot M, a)$, pour $s\in S$.