Bài tập 4, § 5

Cho P là không gian con của $\mathbf{R}^2$ được xác định như trong Bài tập 5, I, p. 146, b). Gọi $a$ là điểm $(0,0,1)$ của $\mathbf{R}^3$ và gọi C là hợp của các đoạn $[a,(x,0)]$, với $x\in P$.

a) Chứng minh rằng không gian C là liên thông địa phương bằng cung và đơn liên thông bằng cung.

b) Gọi D là hợp của không gian C và không gian đối xứng của nó $-C$. Chứng minh rằng không gian D là đơn liên thông, nhưng không đơn liên thông bằng cung.

c) Chứng minh rằng nhóm Poincaré $\pi_1(D,0)$ có lũy thừa của continuum.