Exercice 4, § 5

Soit P le sous-espace de $\mathbf{R}^2$ défini comme dans l’exercice 5, I, p. 146, b). Soit $a$ le point $(0,0,1)$ de $\mathbf{R}^3$ et soit C la réunion des segments $[a,(x,0)]$, pour $x\in P$.

a) Démontrer que l’espace C est localement connexe par arcs et simplement connexe par arcs.

b) Soit D la réunion de l’espace C et de son symétrique $-C$. Démontrer que l’espace D est simplement connexe, mais qu’il n’est pas simplement connexe par arcs.

c) Démontrer que le groupe de Poincaré $\pi_1(D,0)$ a la puissance du continu.