Bài tập 5, § 5

Gọi $P$ là không gian con của $\mathbf{R}^2$ được xác định như trong Bài tập 5, I, p. 146, b) ; gọi thêm $P^+$ (resp. $P^-$) là tập hợp các điểm $(x, y)\in P$ sao cho $y\geqslant 0$ (resp. $y\leqslant 0$). Gọi $a$ là điểm $(0,0,1)$ của $\mathbf{R}^3$ và gọi A là hợp của đoạn $[a,0]$ và của các đoạn $[a,(2r_n,0)]$, với $n\in \mathbf{N}$, Đặt $B^+= (P^+\times \{0\})\cup A$, $B^-= (P^-\times \{0\})\cup A$ và $B = (P\times \{0\})\cup A$.

a) Chứng minh rằng không gian $B^+$ co rút được và rằng nhóm Poincaré $\pi_1(B^+, a)$ là một nhóm tự do trên $\mathbf{N}$.

b) Chứng minh rằng A co rút được tại $a$.

c) Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc từ $\pi_1(B^+, a)*\pi_1(B^-, a)$ vào $\pi_1(B, a)$, suy ra từ các phép bao hàm chính tắc của $B^+$ và $B^-$ trong B, không toàn ánh.