Exercice 5, § 5

Soit P le sous-espace de $\mathbf{R}^2$ défini comme dans l’exercice 5, I, p. 146, b) ; notons aussi $P^+$ (resp. $P^-$) l’ensemble des points $(x, y)\in P$ tels que $y\geqslant 0$ (resp. $y\leqslant 0$). Soit $a$ le point $(0,0,1)$ de $\mathbf{R}^3$ et soit A la réunion du segment $[a,0]$ et des segments $[a,(2r_n,0)]$, pour $n\in \mathbf{N}$, On pose $B^+= (P^+\times \{0\})\cup A$, $B^-= (P^-\times \{0\})\cup A$ et $B = (P\times \{0\})\cup A$.

a) Démontrer que l’espace $B^+$ est délaçable et que le groupe de Poincaré $\pi_1(B^+, a)$ est un groupe libre sur $\mathbf{N}$.

b) Démontrer que A est contractile en $a$.

c) Démontrer que l’homomorphisme canonique de $\pi_1(B^+, a)*\pi_1(B^-, a)$ dans $\pi_1(B, a)$, déduit des inclusions canoniques de $B^+$ et $B^-$ dans B, n’est pas surjectif.