Bài tập 7, § 5

Cho $G$ là một đồ thị, $S$ là tập hợp các đỉnh của nó và $A$ là tập hợp các cạnh có hướng của nó. Ta ký hiệu bởi $|G|$ hiện thực hình học của nó; ta đồng nhất $S$ với một tập con của $|G|$ và ký hiệu bởi $p:\mathbf{I}\times A\rightarrow |G|$ ánh xạ chính tắc.

(a) Chứng minh rằng không gian $|G|$ là compact (tương ứng, compact địa phương) khi và chỉ khi đồ thị $G$ là hữu hạn (tương ứng, hữu hạn địa phương).

(b) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc từ $S$ vào $|G|$ gây ra một song ánh của $\pi_0(G)$ lên $\pi_0(|G|)$.

(c) Gọi $\varpi (|G|)_S$ là phân nhóm toàn phần của $\varpi (|G|)$ có tập hợp các đỉnh là $S$. Chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu duy nhất của các nhómoid $\varpi (G)\rightarrow \varpi (|G|)_S$ là đồng nhất trên tập hợp các đỉnh và gửi lớp của một cạnh có hướng $a\in A$ vào lớp của đường đi $t\mapsto p(t, a)$

(d) Giả sử rằng đồ thị $G$ là liên thông và hữu hạn; đặt $m= 1 +$ Card(S) $-$ Card(A). Chứng minh rằng nhóm Poincaré của $|G|$ là một nhóm tự do trên $m$ phần tử sinh.