Exercice 7, § 5

Soit G un graphe, S l’ensemble de ses sommets et A l’ensemble de ses arêtes orientées. On note $|G|$ sa réalisation géométrique ; on identifie S à une partie de $|G|$ et on note $p:\mathbf{I}\times A\rightarrow |G|$ l’application canonique.

a) Démontrer que l’espace $|G|$ est compact (resp. localement compact) si et seulement si le graphe G est fini (resp. localement fini).

b) Démontrer que l’application canonique de S dans $|G|$ induit une bijection de $\pi_0(G)$ sur $\pi_0(|G|)$.

c) Notons $\varpi (|G|)_S$ le sous-groupoïde plein de $\varpi (|G|)$ d’ensemble de sommets S. Démontrer qu’il existe un unique isomorphisme de groupoïdes $\varpi (G)\rightarrow \varpi (|G|)_S$ qui est l’identité sur l’ensemble des sommets et qui applique la classe d’une arête orientée $a\in A$ sur la classe du chemin $t\mapsto p(t, a)$

d) On suppose que le graphe G est connexe et fini ; soit $m= 1 +$ Card(S) $-$ Card(A). Démontrer que le groupe de Poincaré de $|G|$ est un groupe libre à $m$ générateurs.