Bài tập 8, § 5

Cho X là không gian thương của không gian $\mathbf{R}\times \{0,1\}$ theo quan hệ tương đương kém mịn nhất đồng nhất $(x,0)$ và $(x,1)$ với mọi $x\in \mathbf{R}^*$ (“đường thẳng số phải có gốc bị nhân đôi”).

(a) Chứng minh rằng $\pi_1(X, x)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$, với mọi điểm $x\in X$.

(b) Gọi $X^{(2)}$ là không gian thương của không gian $X^2$ theo phép toán của nhóm đối xứng $\mathfrak{S}_2$ trên không gian $X^2$ tác động bằng phép hoán vị các tọa độ. Chứng minh rằng $\pi_1(X^{(2)}, y) = 0$ với mọi $y\in X^{(2)}$.