Exercice 8, § 5

Soit X l’espace quotient de l’espace $\mathbf{R}\times \{0,1\}$ par la relation d’équivalence la moins fine qui identifie $(x,0)$ et $(x,1)$ pour tout $x\in \mathbf{R}^*$ (« droite numérique dont l’origine est dédoublée »).

a) Démontrer que $\pi_1(X, x)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$, pour tout point $x\in X$.

b) Soit $X^{(2)}$ l’espace quotient de l’espace $X^2$ par l’opération du groupe symétrique $\mathfrak{S}_2$ sur l’espace $X^2$ agissant par permutation des coordonnées. Démontrer que $\pi_1(X^{(2)}, y) = 0$ pour tout $y\in X^{(2)}$.