Bài tập 9, § 5

Cho X là một không gian tôpô, cho R là một quan hệ tương đương trong X và cho $p: X\rightarrow X/R$ là toàn cấu chính tắc. Cho $x\in X$.

(a) Giả sử rằng X liên thông và liên thông địa phương theo cung, rằng các lớp tương đương là các tập hợp liên thông, và rằng không gian $X/R$ là tháo gỡ được. Chứng minh rằng đồng cấu $p_*:\pi_1(X, x)\rightarrow \pi_1(X/R, p(x))$ là toàn ánh.

(b) Giả sử rằng $X =\mathbf{I}$ và rằng $\{0,1\}$ là lớp tương đương duy nhất không rút gọn về một phần tử. Chứng minh rằng đồng cấu $p_*$ không là toàn ánh.