Exercice 9, § 5

Soit X un espace topologique, soit R une relation d’équivalence dans X et soit $p: X\rightarrow X/R$ la surjection canonique. Soit $x\in X$.

a) On suppose que X est connexe et localement connexe par arcs, que les classes d’équivalence sont des ensembles connexes, et que l’espace $X/R$ est délaçable. Démontrer que l’homomorphisme $p_*:\pi_1(X, x)\rightarrow \pi_1(X/R, p(x))$ est surjectif.

b) On suppose que $X =\mathbf{I}$ et que $\{0,1\}$ est la seule classe d’équivalence qui ne soit pas réduite à un élément. Démontrer que l’homomorphisme $p_*$ n’est pas surjectif.