Bài tập 1, § 6

Cho $K$ là một trong các trường tôpô $\mathbf{R},\mathbf{C},\mathbf{H}$. Cho $V$ là một không gian vectơ trên $K$ có một hệ phần tử sinh đếm được, được trang bị tôpô tinh nhất của không gian vectơ tôpô (EVT, I, §1, p. 11, hệ quả 4). Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu bởi $B_n(V)$ không gian con của $V^n$ tạo bởi các dãy tự do và bởi $G_n(V)$ tập hợp các không gian con có chiều $n$ của V. Ký hiệu bởi $p: B_n(V)\rightarrow$ $G_n(V)$ ánh xạ liên kết với một dãy $v\in B_n(V)$ không gian con vectơ do nó sinh ra và trang bị cho tập hợp $G_n(V)$ tôpô kém mịn nhất sao cho ánh xạ $p$ là liên tục.

(a) Chứng minh rằng ta xác định được một tác động phải của nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ trên $B_n(V)$ bằng cách đặt $v\cdot g= (\sum^n_{i=1}v_ia_{i,j})_{1\leqslant j\leqslant n}$ với $v= (v_1, . . . , v_n)\in$ $B_n(V)$ và $g= (a_{i,j})\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$.

(b) Chứng minh rằng ánh xạ $p$ cảm sinh một đồng phôi của không gian thương $B_n(V)/\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ lên $G_n(V)$. Suy ra rằng không gian $G_n(V)$ là paracompact, và khả mê nếu V có số chiều hữu hạn.

(c) Chứng minh rằng $B_n(V)$ là một không gian phân thớ chính với nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ và cơ sở $G_n(V)$.

(d) Giả sử rằng V có chiều vô hạn. Chứng minh rằng không gian $B_n(V)$ là co được. Suy ra rằng không gian $G_n(V)$ là một không gian phân loại của nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$.