Exercice 1, § 6

Soit K l’un des corps topologiques $\mathbf{R},\mathbf{C},\mathbf{H}$. Soit V un K-espace vectoriel possédant un système générateur dénombrable, muni de sa topologie la plus fine d’espace vectoriel topologique (EVT, I, §1, p. 11, cor. 4). Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $B_n(V)$ le sous-espace de $V^n$ formé des suites libres et $G_n(V)$ l’ensemble des sous-espaces de dimension $n$ de V. On note $p: B_n(V)\rightarrow$ $G_n(V)$ l’application qui associe à une suite $v\in B_n(V)$ le sous-espace vectoriel qu’elle engendre et on munit l’ensemble $G_n(V)$ de la topologie la moins fine pour laquelle l’application $p$ est continue.

a) Démontrer que l’on définit une action à droite du groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ dans $B_n(V)$ en posant $v\cdot g= (\sum^n_{i=1}v_ia_{i,j})_{1\leqslant j\leqslant n}$ pour $v= (v_1, . . . , v_n)\in$ $B_n(V)$ et $g= (a_{i,j})\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$.

b) Démontrer que l’application $p$ induit un homéomorphisme de l’espace quotient $B_n(V)/\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ sur $G_n(V)$. En déduire que l’espace $G_n(V)$ est paracompact, et métrisable si V est de dimension finie.

c) Démontrer que $B_n(V)$ est un espace fibré principal de groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ et de base $G_n(V)$.

d) On suppose que V est de dimension infinie. Démontrer que l’espace $B_n(V)$ est contractile. En déduire que l’espace $G_n(V)$ est un espace classifiant pour le groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$.