Bài tập 2, § 6

Cho $H$ là một không gian tiền Hilbert tách biệt có chiều vô hạn. Cho $(e_i)_{i\geqslant 0}$ là một họ trực chuẩn các vectơ của $H$ sinh ra một không gian con trù mật của $H$. Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu bởi $V_n(H)$ không gian con của $H^n$ gồm các dãy $(u_1, . . . , u_n)$ trực chuẩn.

a) Chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính liên tục $T: H\rightarrow H$, sao cho $T(e_i) =e_{i+1}$ với mọi số nguyên $i$. Chứng minh rằng ta có $\|T(x)\|=\|x\|$ với mọi $x\in H$.

b) Cho $H'$ là không gian con của H gồm các vectơ trực giao với $e_i$, với $i < n$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $x$ và $T^n(x)$ phụ thuộc tuyến tính ; (ii) $T(x) =x$; (iii) $x\in H'$.

c) Chứng minh rằng tồn tại một đồng luân duy nhất $\sigma : V_n(H)\times \mathbf{I}\rightarrow V_n(H)$ sao cho, với mọi $(u_1, . . . , u_n)\in V_n(H)$ và mọi $t\in \mathbf{I},\sigma ((u_1, . . . , u_n), t)$ là dãy suy ra từ họ $(1-t)(u_1, . . . , u_n) +t(T^n(u_1), . . . ,T^n(u_n))$ bằng quá trình trực chuẩn hóa (EVT, V, p. 23, mệnh đề 6).

d) Chứng minh rằng tồn tại một đồng luân duy nhất $\tau : V_n(H')\times \mathbf{I}\rightarrow V_n(H)$ sao cho, với mọi $(u_1, . . . , u_n)\in V_n(H')$ và mọi $t\in \mathbf{I},\sigma ((u_1, . . . , u_n), t)$ là dãy suy ra từ họ $(1-t)(u_1, . . . , u_n) +t(e_1, . . . , e_n)$ bằng quá trình trực chuẩn hóa.

e) Chứng minh rằng không gian $V_n(H)$ là co được.