Exercice 2, § 6

Soit H un espace préhilbertien séparé de dimension infinie. Soit $(e_i)_{i\geqslant 0}$ une famille orthonormale de vecteurs de H qui engendre un sous-espace dense de H. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $V_n(H)$ le sous-espace de $H^n$ constitué des suites $(u_1, . . . , u_n)$ qui sont orthonormales.

a) Démontrer qu’il existe une application linéaire continue $T: H\rightarrow H$, et une seule, telle que $T(e_i) =e_{i+1}$ pour tout entier $i$. Démontrer que l’on a $\|T(x)\|=\|x\|$ pour tout $x\in H$.

b) Soit $H'$ le sous-espace de H formé des vecteurs orthogonaux à $e_i$, pour $i < n$. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $x$ et $T^n(x)$ sont linéairement dépendants ; (ii) $T(x) =x$; (iii) $x\in H'$.

c) Démontrer qu’il existe une unique homotopie $\sigma : V_n(H)\times \mathbf{I}\rightarrow V_n(H)$ telle que, pour tout $(u_1, . . . , u_n)\in V_n(H)$ et tout $t\in \mathbf{I},\sigma ((u_1, . . . , u_n), t)$ soit la suite déduite de la famille $(1-t)(u_1, . . . , u_n) +t(T^n(u_1), . . . ,T^n(u_n))$ par le procédé d’orthonormalisation (EVT, V, p. 23, prop. 6).

d) Démontrer qu’il existe une unique homotopie $\tau : V_n(H')\times \mathbf{I}\rightarrow V_n(H)$ telle que, pour tout $(u_1, . . . , u_n)\in V_n(H')$ et tout $t\in \mathbf{I},\sigma ((u_1, . . . , u_n), t)$ soit la suite déduite de la famille $(1-t)(u_1, . . . , u_n) +t(e_1, . . . , e_n)$ par le procédé d’orthonormalisation.

e) Démontrer que l’espace $V_n(H)$ est contractile.