Bài tập 3, § 6

Cho H là một không gian tiền-Hilbert phân ly. Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$; ký hiệu $V_n(H)$ là không gian con của $H^n$ tạo bởi các dãy trực chuẩn. Cho G là một nhóm con đóng của $O(n,\mathbf{R})$. a) Chứng minh rằng nhóm trực giao $O(n,\mathbf{R})$ (LIE, IX, §3, n$^o5$, p. 22) tác động đúng và tự do lên không gian $V_n(H)$ bởi công thức

b) Cho G là một nhóm con đóng của $O(n,\mathbf{R})$. Chứng minh rằng toàn cấu chính tắc biến $V_n(H)$ thành một không gian sợi chính với nhóm G và cơ sở $V_n(H)/G$. (Bắt đầu bằng cách xét trường hợp $G = O(n,\mathbf{R})$.)

c) Chứng minh rằng không gian thương $V_n(H)/G$ là mêtric hóa được. (Trang bị cho $H^n$ cấu trúc tự nhiên của không gian tiền-Hilbert và xét khoảng cách $d$ trên $V_n(H)$ cho bởi $d(u, v) =$ inf$_{g\in G}\|u-v\cdot g\|.$)

d) Chứng minh rằng không gian thương $V_n(H)/G$ là một không gian phân loại cho G.

e) Suy ra rằng mọi nhóm Lie compact đều sở hữu một không gian phân loại là một không gian tôpô mêtric hóa được. (Áp dụng LIE, IX, §9, n$^o2$, p. 91, th. 1.)