Exercice 3, § 6

Soit H un espace préhilbertien séparé. Soit $n$ un entier $\geqslant 1$ ; on note $V_n(H)$ le sous-espace de $H^n$ formé des suites orthonormales. Soit G un sous-groupe fermé de $O(n,\mathbf{R})$. a) Démontrer que l’on fait opérer le groupe orthogonal $O(n,\mathbf{R})$ (LIE, IX, §3, n$^o5$, p. 22) proprement et librement dans l’espace $V_n(H)$ par la formule

b) Soit G un sous-groupe fermé de $O(n,\mathbf{R})$. Prouver que la surjection canonique fait de $V_n(H)$ un espace fibré principal de groupe G et de base $V_n(H)/G$. (Commencer par traiter le cas où $G = O(n,\mathbf{R})$.)

c) Démontrer que l’espace quotient $V_n(H)/G$ est métrisable. (Munir $H^n$ de sa structure naturelle d’espace préhilbertien et considérer l’écart $d$ sur $V_n(H)$ donné par $d(u, v) =$ inf$_{g\in G}\|u-v\cdot g\|.$)

d) Démontrer que l’espace quotient $V_n(H)/G$ est un espace classifiant pour G.

e) En déduire que tout groupe de Lie compact possède un espace classifiant qui est un espace topologique métrisable. (Appliquer LIE, IX, §9, n$^o2$, p. 91, th. 1.)