Bài tập 6, § 6

Cho X là không gian thương của không gian $\mathbf{R}\times \{0,1\}$ theo quan hệ tương đương mịn nhất mà đối với nó các điểm $(t,0)$ và $(t,1)$ là tương đương, với mọi $x\in \mathbf{R}^*_+$. Ký hiệu $p:\mathbf{R}\times \{0,1\} \rightarrow X$ là toàn cấu chính tắc.

a) Chứng minh rằng không gian tôpô X đồng luân với một điểm.

b) Với những điểm nào $x\in X$ thì không gian có điểm gốc $(X, x)$ co được?

c) Đặt $U =p(\mathbf{R}\times \{0\})$ và $V =p(\mathbf{R}\times \{V\})$. Cho G là một nhóm tôpô. Xây dựng một song ánh từ tập hợp $\mathscr{C}(\mathbf{R}^*_+; G)$ các ánh xạ liên tục từ $\mathbf{R}^*_+$ vào G lên tập hợp các lớp đẳng cấu của các bó chính có cơ sở X và nhóm G.

d) Suy ra rằng tồn tại các bó chính có cơ sở X và nhóm $\mathbf{R}$ không khả tầm thường hóa.