Exercice 6, § 6

Soit X l’espace quotient de l’espace $\mathbf{R}\times \{0,1\}$ par la relation d’équivalence la plus fine pour laquelle les points $(t,0)$ et $(t,1)$ sont équivalents, pour tout $x\in \mathbf{R}^*_+$. On note $p:\mathbf{R}\times \{0,1\} \rightarrow X$ la surjection canonique.

a) Démontrer que l’espace topologique X est homéotope à un point.

b) Pour quels points $x\in X$ l’espace pointé $(X, x)$ est-il contractile ?

c) Soit $U =p(\mathbf{R}\times \{0\})$ et $V =p(\mathbf{R}\times \{V\})$. Soit G un groupe topologique. Construire une bijection de l’ensemble $\mathscr{C}(\mathbf{R}^*_+; G)$ des applications continues de $\mathbf{R}^*_+$ dans G sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de fibrés principaux de base X et de groupe G.

d) En déduire qu’il existe des fibrés principaux de base X et de groupe $\mathbf{R}$ qui ne sont pas trivialisables.