Bài tập 7, § 6

Cho $G$ là một nhóm tôpô và cho $E$ là một không gian sợi chính có cơ sở $\mathbf{S}_2$ và nhóm G. Ta ký hiệu bởi $\mathbf{S}^+_2$ và $\mathbf{S}^-_2$ hai bán cầu, là các giao của $\mathbf{S}_2$ với các nửa không gian được xác định bởi các điều kiện $z\geqslant 0$ và $z\leqslant 0$ tương ứng; ta đồng nhất $\mathbf{S}^+_2\cap \mathbf{S}^-_2$ với $\mathbf{S}_1$.

(a) Chứng minh rằng không gian sợi E có một tiết diện $s^+$ (tương ứng $s^-$) trên $\mathbf{S}^+_2$ (tương ứng $\mathbf{S}^-_2$). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ liên tục $f:\mathbf{S}_1\rightarrow G$ sao cho $s^+(x) =s^-(x)\cdot f(x)$ với mọi $x\in \mathbf{S}_1$.

(b) Chứng minh rằng lớp đồng luân ngặt của ánh xạ từ $\mathbf{S}_1$ vào G được cho bởi $x\mapsto c(x)c(1)^{-1}$ không phụ thuộc vào lựa chọn các tiết diện $s^+$ và $s^-$; ta ký hiệu nó bởi $c(E)$.

(c) Chứng minh rằng hai không gian sợi chính E và $E'$, có cơ sở $\mathbf{S}_2$ và nhóm G, là đẳng cấu nếu và chỉ nếu $c(E) =c(E')$.

(d) Chứng minh rằng, với mọi lớp $c\in \pi_1(G, e)$, tồn tại một không gian sợi chính E, có cơ sở $\mathbf{S}_2$ và nhóm G sao cho $c(E) =c$.