Exercice 7, § 6

Soit G un groupe topologique et soit E un espace fibré principal de base $\mathbf{S}_2$ et de groupe G. On note $\mathbf{S}^+_2$ et $\mathbf{S}^-_2$ les deux hémisphères, intersections de $\mathbf{S}_2$ et des demi-espaces définis par les conditions $z\geqslant 0$ et $z\leqslant 0$ respectivement ; on identifie $\mathbf{S}^+_2\cap \mathbf{S}^-_2$ à $\mathbf{S}_1$.

a) Démontrer que le fibré E possède une section $s^+$ (resp. $s^-$) au-dessus de $\mathbf{S}^+_2$ (resp. $\mathbf{S}^-_2$). Démontrer qu’il existe une unique application continue $f:\mathbf{S}_1\rightarrow G$ telle que $s^+(x) =s^-(x)\cdot f(x)$ pour tout $x\in \mathbf{S}_1$.

b) Démontrer que la classe d’homotopie stricte de l’application de $\mathbf{S}_1$ dans G donnée par $x\mapsto c(x)c(1)^{-1}$ ne dépend pas du choix des sections $s^+$ et $s^-$; on la note $c(E)$.

c) Démontrer que deux espaces fibrés principaux E et $E'$, de base $\mathbf{S}_2$ et de groupe G, sont isomorphes si et seulement si $c(E) =c(E')$.

d) Démontrer que, pour toute classe $c\in \pi_1(G, e)$, il existe un espace fibré principal E, de base $\mathbf{S}_2$ et de groupe G tel que $c(E) =c$.