Bài tập 9, § 6

Đường thẳng xạ ảnh phức $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ được đồng nhất với tập hợp các đường thẳng của $\mathbf{C}^2$. Gọi E là không gian con của $\mathbf{C}^2\times \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ gồm các cặp $((u, v), x)$ sao cho $v\in x$ và $|u|^2+|v|^2= 1$. Ta trang bị cho E tác động của nhóm $\mathbf{S}_1$ cho bởi $((u, v), x)\cdot z= ((zu, zv), x)$.

a) Bài tập chứng minh rằng phép chiếu thứ hai pr$_2: E\rightarrow \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ trang bị cho E một cấu trúc không gian xơ chính với cơ sở $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ và nhóm $\mathbf{S}_1$.

b) Gọi $\varphi$ là một phép đồng phôi của $\mathbf{S}_2$ lên $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$; bài tập chứng minh rằng nhóm $\pi_1(\mathbf{S}_1, e)$ được sinh bởi lớp $c(\varphi^*E)$.