Exercice 9, § 6

On identifie la droite projective complexe $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ à l’ensemble des droites de $\mathbf{C}^2$. Soit E le sous-espace de $\mathbf{C}^2\times \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ formé des couples $((u, v), x)$ tels que $v\in x$ et $|u|^2+|v|^2= 1$. On munit E de l’action du groupe $\mathbf{S}_1$ donnée par $((u, v), x)\cdot z= ((zu, zv), x)$.

a) Démontrer que la seconde projection pr$_2: E\rightarrow \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ munit E d’une structure d’espace fibré principal de base $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ et de groupe $\mathbf{S}_1$.

b) Soit $\varphi$ un homéomorphisme de $\mathbf{S}_2$ sur $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$; démontrer que le groupe $\pi_1(\mathbf{S}_1, e)$ est engendré par la classe $c(\varphi^*E)$.