Bài tập 4, § 5

Cho $\Gamma$ là nhóm các phép đồng phôi của không gian thương $T$ của $\mathbf{R}$ gồm đồng nhất và phép đồng phôi cảm sinh trên $T$ bởi phép đồng phôi $x \to 1/2 + x$ của $\mathbf{R}$ lên chính nó. Cho $S$ là quan hệ tương đương "tồn tại $\sigma \in \Gamma$ sao cho $y = \sigma(x)$" trên $T$; $S$ vừa mở vừa đóng (Bài tập 3). Chứng minh rằng $T$ không có tiết diện liên tục đối với $S$, mặc dù cả $T$ và $T/S$ đều compact, liên thông và liên thông địa phương. Cho $A$ là ảnh chính tắc trong $T$ của khoảng $[0,1/2]$ của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng $A$ là đóng địa phương trong $T$ nhưng không gian thương $A/S_A$ không đồng phôi với ảnh chính tắc của $A$ trong $T/S$. \*