Exercice 4, § 5

Dans l’espace quotient $T$ de $\mathbf{R}$, on considère le groupe d’homéomorphismes $\Gamma$ formé de l’identité et de l’homéomorphisme déduit de l’homéomorphisme $x \mapsto \frac{1}{2} + x$ de $\mathbf{R}$ par passage aux quotients. Soit $S$ la relation d’équivalence: « il existe $\sigma \in \Gamma$ tel que $y = \sigma(x)$ » dans $T$, qui est à la fois ouverte et fermée (exerc. 3). Montrer qu’il n’existe pas de section continue de $T$ pour $S$, bien que $T$ et $T/S$ soient compacts, connexes et localement connexes. Soit $A$ la partie de $T$ image canonique de l’intervalle $[0, \frac{1}{2}[$ de $\mathbf{R}$; montrer que dans $T$, $A$ est localement fermé, mais que l’espace quotient $A/S_A$ n’est pas homéomorphe à l’image canonique de $A$ dans $T/S$.*