Bài tập 4, § 9

Chứng minh rằng trong không gian $X$ được xác định trong Bài tập 6 của $§ 7$, là chính quy ($§ 8$, Bài tập 16), mọi tập con compact đều hữu hạn.

b) Cho $X$ là tổng của $\mathbf{N}$ và một tập vô hạn $A$. Với mỗi $x \in X$, gọi $\mathfrak{G}(x)$ là cơ sở lọc được xác định như sau: nếu $x \in \mathbf{N}$, thì $\mathfrak{G}(x)$ gồm tập duy nhất $\{ x \}$; nếu $x \in A$ và nếu $S_{x, n}$ ký hiệu tập có các phần tử là $x$ và các số nguyên $\geq n$, thì $\mathfrak{G}(x)$ gồm các tập $S_{x, n}$ khi $n$ chạy qua $\mathbf{N}$. Chứng minh rằng có một tôpô trên $X$ sao cho $\mathfrak{G}(x)$ là một hệ cơ sở lân cận của $x$ với mọi $x \in X$, và rằng $X$ là khả tiếp cận nhưng không Hausdorff trong tôpô này. Cũng chứng minh rằng $X$ không là quasi-compact, nhưng $X$ có các tập con compact trù mật.

c) Chứng minh rằng hai tôpô trên một tập $X$, sao cho đối với mỗi tôpô đó $X$ là khả tiếp cận và quasi-compact, có thể phân biệt nhưng so sánh được [xem § 8, Bài tập 7 và 5 b)].

6) Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô, và cho $A$ (tương ứng $B$) là một tập con quasi-compact của $X$ (tương ứng $Y$). Chứng minh rằng nếu $U$ là bất kỳ lân cận nào của $A \times B$ trong $X \times Y$ thì tồn tại một lân cận $V$ của $A$ trong $X$ và một lân cận $W$ của $B$ trong $Y$ sao cho $V \times W \subset U$.

7) a) Cho một ví dụ về một hệ ngược $(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$ của các không gian quasi-compact mà giới hạn ngược là rỗng (chú ý rằng trong không gian của Ví dụ 2 của no. 1, mọi không gian con đều quasi-compact).

b) Cho $p$ là một số nguyên tố. Gọi $Z_n$ là tập $\mathbf{Z}$ các số nguyên hữu tỉ, được trang bị tôpô rời rạc ngược của tôpô rời rạc qua ánh xạ chính tắc của $\mathbf{Z}$ lên $\mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}$. Nếu $m \leq n$, gọi $f_{mn}$ là ánh xạ đồng nhất $Z_n \to Z_m$, là liên tục. Chứng minh rằng các không gian $Z_n$ là quasi-compact, nhưng giới hạn ngược của hệ ngược $(Z_n, f_{mn})$ không là quasi-compact (*).

8) Cho $X$ là một không gian tôpô và cho $(G_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các đồ thị của các quan hệ tương đương trên $X$, có tập hợp chỉ số $A$ có hướng; cho $R_\alpha$ là quan hệ $(x, y) \in G_\alpha$ và cho $\varphi_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $X \to X/R_\alpha$. Giả sử rằng quan hệ $R_\beta$ kéo theo $R_\alpha$ nếu $\alpha \leq \beta$ và cho $\varphi_{\alpha \beta}$ là ánh xạ chính tắc $X/R_\beta \to X/R_\alpha$; khi đó $(X/R_\alpha, \varphi_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược các không gian tôpô. Cho $Y = \varprojlim X/R_\alpha$.

(*) Ví dụ này (chưa công bố) là do D. Zelinsky đưa ra.

a) Cho $g : X \to Y$ là ánh xạ liên tục $\varprojlim \varphi_\alpha$. Chứng minh rằng $g(x)$ là trù mật trong $Y$ và rằng, với mỗi $x \in X$, $\overline{g^{-1}}(g(x))$ là lớp của $x$ đối với quan hệ tương đương có đồ thị là $\bigcap_\alpha G_\alpha$.

b) Giả sử rằng tất cả các $R_\alpha$ là các quan hệ tương đương đóng, và rằng với mỗi $x \in X$ và mỗi lân cận $V$ của $x$ tồn tại một chỉ số $\alpha$ sao cho lớp của $x$ đối với $R_\alpha$ được chứa trong $V$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này $g$ là một ánh xạ mở của $X$ lên $g(X)$.

c) Chứng minh rằng nếu các lớp mod $R_\alpha$ là đóng và gần compact với mỗi $\alpha \in A$, thì $g$ là toàn ánh.

9) Cho $X$ là một không gian khả tiếp cận và $\mathscr{K}$ là một tập hợp các tập con đóng gần compact của $X$, chứa mọi tập con hữu hạn của $X$ và có tính chất là hợp của hai tập con bất kỳ của $\mathscr{K}$ thuộc về $\mathscr{K}$. Cho $X'$ là một tập hợp là tổng của $X$ và một tập hợp $\{ \omega \}$ gồm một điểm duy nhất. Chứng minh rằng tồn tại một tôpô khả tiếp cận gần compact trên $X'$ cảm sinh tôpô đã cho trên $X$, và có tính chất là các phần bù trong $X'$ của các tập hợp thuộc $\mathscr{K}$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận mở của $\omega$. Cho các ví dụ về các tôpô phân biệt trên $X'$ tương ứng với các tập hợp $\mathscr{K}$ phân biệt.

10) Cho $X$ là một không gian paracompact. Chứng minh rằng nếu mọi không gian con mở của $X$ là paracompact, thì mọi không gian con của $X$ là paracompact. Suy ra rằng mọi không gian con của một không gian địa phương compact có tôpô có một cơ sở đếm được, là paracompact [xem Chương IX, § 4, Bài tập 20 a)].

¶ 11) Cho $X_0$ là một tập được sắp thứ tự tốt không đếm được có một phần tử lớn nhất; cho $a$ là phần tử nhỏ nhất của $X_0$ và $b$ là phần tử nhỏ nhất trong các phần tử $x \in X_0$ sao cho khoảng $[a, x[$ là không đếm được. Ký hiệu $X$ là khoảng $[a, b[$ với tôpô $\mathscr{C}_-(X)$.

a) $X$ là địa phương compact nhưng không compact (Bài tập 2) và mọi dãy trong $X$ đều có một điểm tụ (nhận xét rằng mọi tập con đếm được của $X$ đều bị chặn trên).

b) Cho $f$ là một ánh xạ từ $X$ vào chính nó sao cho $f(x) < x$ với mọi $x$ đủ lớn. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $c \in X$ có tính chất là với mỗi $x \in X$ tồn tại $y \geq x$ sao cho $f(y) \leq c$. [Dùng reductio ad absurdum, bằng cách xây dựng một dãy $(z_n)$ các điểm của $X$ sao cho $z_{n+1}$ là nhỏ nhất trong các phần tử $z' \in X$ sao cho $f(x) \geq z_n$ với mọi $x \geq z'$].

c) Suy ra từ b) rằng $X$ không paracompact.

12) Cho $X$ là một không gian tôpô, $\mathfrak{F}(X)$ là tập hợp các tập con đóng khác rỗng của $X$, $\mathfrak{K}(X)$ là tập hợp các tập con quasi-compact khác rỗng của $X$;

trang bị cho mỗi tập hợp này tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ trên $\mathfrak{B}_0(X)$ (§ 2, Bài tập 7).

a) Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{F}(X)$ là quasi-compact đối với $\mathfrak{T}_\Omega$ và nếu $X$ là chính quy, thì hợp của các tập hợp $M \in \mathfrak{B}$ là đóng trong $X$.

b) Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{B} \subset \mathfrak{K}(X)$ là quasi-compact đối với $\mathfrak{T}_\Omega$ thì hợp của các tập hợp $M \in \mathfrak{B}$ là quasi-compact.

¶ 13) Với ký hiệu của Bài tập 13, trang bị cho $\mathfrak{F}(X)$ và $\mathfrak{K}(X)$ tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$ trên $\mathfrak{B}_0(X)$ (§ 8, Bài tập 12).

a) Chứng minh rằng nếu $X$ là quasi-compact, thì $\mathfrak{F}(X)$ cũng vậy. (Đối với mỗi tập mở $U$ trong $X$, gọi $c(U)$ [tương ứng. $m(U)$] là tập hợp tất cả các tập con đóng $M$ của $X$ sao cho $M \subset U$ (tương ứng. $M \cap U \neq \varnothing$); các $c(U)$ và $m(U)$ tạo thành một cơ sở phụ của $\mathfrak{T}_\Theta$. Sau đó dùng Bài tập 1).

b) Giả sử rằng $X$ là accessible, và gọi $X'$ là ảnh của $X$ qua ánh xạ $x \mapsto \{x\}$ của $X$ vào $\mathfrak{F}(X)$. Gọi $\mathfrak{H}$ là một không gian con của $\mathfrak{F}(X)$ chứa $X'$. Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{H}$ là quasi-compact thì $X$ cũng vậy. [Nếu $(U_\alpha)$ là một phủ mở của $X$, nhận xét rằng nếu $\mathfrak{B}_\alpha$ ký hiệu tập hợp tất cả các $M \in \mathfrak{F}(X)$ sao cho $M \cap U_\alpha \neq \varnothing$, thì $\{ \mathfrak{B}_\alpha \}$ là một phủ mở của $\mathfrak{F}(X)$].

c) Chứng minh rằng nếu $X$ là compact địa phương, thì $\mathfrak{K}(X)$ là mở trong $\mathfrak{F}(X)$ (sử dụng Mệnh đề 10 của § 7).

d) Giả sử rằng $X$ là accessible. Chứng minh rằng $\mathfrak{K}(X)$ là Hausdorff (resp. chính quy, compact, compact địa phương) khi và chỉ khi $X$ là như vậy. [Đối với hai khẳng định đầu, sử dụng Bài tập 12 của § 8 và Bài tập 3 của § 9; đối với hai khẳng định cuối, sử dụng a) và b) và Bài tập 12].

¶ 14) Một không gian tôpô $X$ được gọi là một không gian Lindelöf nếu mọi phủ mở của $X$ chứa một phủ đếm được của $X$. Mọi không gian có cơ sở đếm được đều là một không gian Lindelöf, và mọi không gian quasi-compact cũng vậy.

a) Mọi không gian con đóng của một không gian Lindelöf là một không gian Lindelöf. Để mọi không gian con của một không gian Lindelöf là một không gian Lindelöf thì điều kiện cần và đủ là mọi không gian con mở là Lindelöf (xem Bài tập 15).

b) Nếu $f$ là một ánh xạ liên tục bất kỳ của một không gian Lindelöf $X$ vào một không gian tôpô $X'$, thì không gian con $f(X)$ của $X'$ là Lindelöf.

c) Mọi hợp đếm được của các không gian con Lindelöf của một không gian tôpô là Lindelöf. Đặc biệt mọi không gian đếm được là Lindelöf.

d) Một không gian Lindelöf $X$ là quasi-compact nếu mọi dãy trong $X$ có một điểm tụ [chứng minh rằng tiên đề $(C''')$ khi đó được thỏa mãn].

¶ 15) a) Cho $X$ là một không gian tôpô trong đó mọi không gian con mở là Lindelöf. Chứng minh rằng $X$ thỏa mãn điều kiện $(D_{III})$ của § 1, Bài tập 7, và rằng nếu $X$ là chính quy thì mọi tập con đóng của $X$ là một giao đếm được của các tập hợp mở [xem Bài tập 23 c)].

b) Cho $X$ là một không gian tôpô trong đó mọi không gian con mở là paracompact. Chứng minh rằng mọi không gian con mở của $X$ là Lindelöf khi và chỉ khi $X$ thỏa mãn điều kiện $(D_{III})$ của § 1, Bài tập 7.

c) Cho $X$ là một không gian compact. Chứng minh rằng mọi không gian con mở của $X$ là Lindelöf khi và chỉ khi (i) $X$ thỏa mãn điều kiện $(D_{III})$ của § 1, Bài tập 7, và (ii) mọi tập con đóng của $X$ là một giao đếm được của các tập hợp mở (sử dụng b) và Định lý 5 của no. 10).

¶ 16) Cho $X$ là một không gian tôpô và $A$ là một tập con của $X$. Một điểm $a \in X$ được gọi là một điểm ngưng tụ của $A$ nếu mọi lân cận của $a$ chứa một vô hạn không đếm được các điểm của $A$.

a) Tập hợp các điểm ngưng tụ của một tập con $A$ của $X$ là đóng. Cho một ví dụ trong đó $X$ chỉ có một điểm ngưng tụ (xem no. 8, Định lý 4).

b) Giả sử $X$ là một không gian khả truy cập trong đó mọi không gian con mở đều Lindelöf (Bài tập 15). Chứng minh rằng với mọi tập con $A$ của $X$, tập $B$ các điểm ngưng tụ của $A$ là hoàn hảo, và rằng $A \cap \complement B$ là đếm được.

¶ 17) Trong một không gian tôpô $X$, một điểm $a$ được gọi là hoàn toàn bám dính vào một tập con $A$ của $X$ nếu với mỗi lân cận $U$ của $a$ ta có $\operatorname{card}(A) = \operatorname{card}(A \cap U)$. Chứng minh rằng $X$ là gần compact khi và chỉ khi với mỗi tập con vô hạn $A$ của $X$ tồn tại một điểm của $X$ hoàn toàn bám dính vào $A$. (Nếu $X$ không là gần compact, chứng minh rằng tồn tại một thứ tự ban đầu $\omega_\alpha$ (Lý thuyết tập hợp, chương III, § 6, Bài tập 10) và một phủ mở $(U_\xi)$ của $X$, trong đó $\xi$ chạy qua tập các thứ tự $< \omega_\alpha$, sao cho với mỗi chỉ số $\xi < \omega_\alpha$ phần bù $A_\xi$ trong $X$ của hợp của các $U_\eta$ với các chỉ số $\eta < \xi$ có lực lượng bằng $\aleph_\alpha$; suy ra rằng có thể định nghĩa một họ $(x_\xi)$ ($\xi < \omega_\alpha$) các điểm của $X$ bằng quy nạp siêu hạn sao cho $x_\xi \in A_\xi$ với mỗi $\xi$ và $x_\xi \neq x_\eta$ bất cứ khi nào $< \eta \xi$).

¶ 18) Một không gian Hausdorff $X$ được gọi là tuyệt đối đóng nếu nó có tính chất sau: với mọi đồng phôi $f$ của $X$ lên một không gian con của một không gian Hausdorff $X'$, $f(X)$ là đóng trong $X'$. Mọi không gian compact đều tuyệt đối đóng.

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(AF') Không gian $X$ là tuyệt đối đóng.

(AF'') Mọi cơ sở lọc trên $X$ gồm các tập hợp mở đều có ít nhất một điểm tụ.

(AF''') Mọi họ các tập con đóng của $X$ có giao rỗng đều chứa một họ con hữu hạn sao cho các phần trong của các tập con trong họ con này có giao rỗng.

(AF''') Mọi phủ mở của $X$ đều chứa một họ con hữu hạn mà các bao đóng của chúng phủ $X$.

b) Cho X là một không gian Hausdorff và U là một tập con mở trù mật của X. Giả sử rằng mọi cơ sở lọc trên U gồm các tập hợp mở đều có ít nhất một điểm tụ trong X. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này X là tuyệt đối đóng. Đặc biệt, nếu A là một tập mở của một không gian tuyệt đối đóng X, thì $\overline{A}$ là tuyệt đối đóng.

c) Cho X là một không gian tuyệt đối đóng và cho $f$ là một ánh xạ liên tục của X vào một không gian Hausdorff $X'$. Chứng minh rằng $f(X)$ là một không gian con tuyệt đối đóng của $X'$.

d) Chứng minh rằng tích của hai không gian tuyệt đối đóng là tuyệt đối đóng (lập luận như trong Mệnh đề 17 của no. 10).

¶ 19) Một không gian Hausdorff X được gọi là cực tiểu nếu tôpô $\mathfrak{T}$ của nó có tính chất là mọi tôpô trên X là Hausdorff và mịn hơn $\mathfrak{T}$ nhất thiết trùng với $\mathfrak{T}$; khi đó $\mathfrak{T}$ phải là nửa chính quy (§ 8, Bài tập 20). Chứng minh rằng một không gian Hausdorff X là cực tiểu khi và chỉ khi mọi cơ sở lọc trên X, gồm các tập hợp mở và có nhiều nhất một điểm tụ, đều hội tụ. Nói cách khác, điều này tương đương với việc nói rằng X là tuyệt đối đóng (Bài tập 18) và rằng mọi cơ sở lọc trên X, gồm các tập hợp mở và có một điểm tụ duy nhất, hội tụ về điểm này.

¶ 20) Một không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn Hausdorff (và tôpô của X được gọi là hoàn toàn Hausdorff) nếu mỗi cặp điểm phân biệt của X có các lân cận đóng rời nhau.

a) Mọi không gian chính quy đều hoàn toàn Hausdorff. Mọi không gian con của một không gian hoàn toàn Hausdorff đều hoàn toàn Hausdorff. Mọi tích của các không gian hoàn toàn Hausdorff đều hoàn toàn Hausdorff. Mọi tôpô mịn hơn một tôpô hoàn toàn Hausdorff đều hoàn toàn Hausdorff.

b) Mọi không gian hoàn toàn Hausdorff cực tiểu X (Bài tập 19) đều compact. (Dùng phản chứng: xét một siêu lọc $\mathfrak{U}$ trên X và cơ sở lọc tạo bởi các tập hợp mở thuộc $\mathfrak{U}$).

c) Cho $\theta$ là một số vô tỉ > 0. Với mọi điểm $(x, y) \in \mathbf{Q}^2$ và mọi $\alpha > 0$ hãy cho $B_\alpha(x, y)$ là tập hợp gồm $(x, y)$ và các điểm $(z, 0) \in \mathbf{Q}^2$ sao cho $|z - (x + \theta y)| < \alpha$ hoặc $|z - (x - \theta y)| < \alpha$. Cho $\mathfrak{B}(x, y)$ là tập hợp các $B_\alpha(x, y)$ khi $\alpha$ chạy qua tập hợp các số thực > 0. Chứng minh rằng tồn tại một tôpô Hausdorff $\mathfrak{T}$ trên $\mathbf{Q}^2$ sao cho, với mỗi $(x, y)$, $\mathfrak{B}(x, y)$ là một hệ cơ bản các lân cận của $(x, y)$ đối với $\mathfrak{T}$. Chứng minh rằng, với hai điểm bất kỳ $a, b$ của $\mathbf{Q}^2$, mọi lân cận đóng của $a$ gặp mọi lân cận đóng của $b$ trong tôpô $\mathfrak{T}$

¶ 21) a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff và cho $\mathfrak{T}$ là tôpô của $X$. Chứng minh rằng $X$ là đóng tuyệt đối (Bài tập 18) khi và chỉ khi tôpô nửa chính quy $\mathfrak{T}^*$ liên kết với $\mathfrak{T}$ (§ 8, Bài tập 20) là tôpô của một không gian cực tiểu (Bài tập 19).

b) Nếu $\mathfrak{T}$ là hoàn toàn Hausdorff (Bài tập 20), thì $\mathfrak{T}_*$ cũng vậy (dùng Bài tập 20 của § 8). Suy ra rằng một không gian chính quy đóng tuyệt đối là compact.

¶ 22) a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff và cho $A$ là một tập con trù mật của $X$. Chứng minh rằng nếu mọi lọc trên $A$ có ít nhất một điểm cụm trong $X$, thì $X$ là đóng tuyệt đối [kiểm tra tiên đề (AF') của Bài tập 18].

b) Cho $X_0$ là một không gian compact có một tập con trù mật không mở $A$, và cho $\mathfrak{T}_0$ là tôpô của $X_0$. Cho $\mathfrak{T}$ là tôpô trên $X_0$ được sinh bởi $A$ và các tập con của $X_0$ mở trong $\mathfrak{T}_0$, sao cho $\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ ($§ 8$, Bài tập 20). Nếu $X$ chỉ không gian đóng tuyệt đối không compact thu được bằng cách trang bị cho tập hợp $X_0$ tôpô $\mathfrak{T}$ (Bài tập 21), chứng minh rằng mọi lọc trên $A$ có một điểm cụm trong $X$.

¶ 23) a) Cho $X$ là một không gian đóng tuyệt đối đếm được. Chứng minh rằng tập hợp các điểm cô lập của $X$ là trù mật trong $X$. [Dùng phản chứng, bằng cách sắp xếp các điểm của $X$ thành một dãy, và xây dựng bằng quy nạp một phủ mở đếm được $(U_n)$ của $X$ sao cho không có hợp hữu hạn nào của các $\overline{U}_n$ phủ $X$].

*b) Cho một ví dụ về một không gian tôpô hoàn toàn Hausdorff đóng tuyệt đối không phải là một không gian Lindelöf [trong tích $[0, 1] \times [0, 1]$; xét các phần bù của các tập $A \times \{0\}$, trong đó $A$ chạy qua tập hợp tất cả các tập con của $[0, 1]$, và áp dụng phương pháp tổng quát của $§ 8$, Bài tập 20 c)]. Không gian này thỏa mãn điều kiện $(D_{II})$ của $§ 1$, Bài tập 1, nhưng không thỏa mãn điều kiện $(D_{III})$.

c) Cho $X_0$ là một không gian compact không có điểm cô lập, cho $\mathfrak{M}$ là tập hợp các phần bù của các tập con đếm được của $X_0$ [sao cho các tập hợp của $\mathfrak{M}$ là trù mật trong $X_0$, cf. a)]. Cho $\mathfrak{T}$ là tôpô sinh bởi các tập mở của $X_0$ và các tập của $\mathfrak{M}$. Chứng minh rằng không gian $X$ nhận được bằng cách trang bị cho $X_0$ tôpô $\mathfrak{T}$ là đóng tuyệt đối và hoàn toàn Hausdorff và là một không gian Lindelöf không thỏa mãn điều kiện $(D_{II})$ của $§ 1$, Bài tập 7; cũng chứng minh rằng không điểm nào của $X$ có một hệ cơ sở lân cận đếm được và rằng không có dãy nào trong $X$, mà tất cả các số hạng của nó đều phân biệt, có một điểm tụ. Nếu mọi không gian con mở của $X_0$ đều là Lindelöf [cf. Bài tập 16 c)], chứng minh rằng điều tương tự đúng với $X$ và do đó đặc biệt là $X$ thỏa mãn $(D_{III})$ [Bài tập 16 a)]. Đây là trường hợp khi $X_0 = [0, 1]$. Tuy nhiên, hãy chứng minh rằng trong trường hợp này có các tập con đóng đếm được của $X$ không phải là giao của một số đếm được các tập mở của $X$ (cf. Chương IX, $§ 5$, no. 3). \*

¶ 24) a) Cho $X$ là một không gian Hausdorff, và cho $\Gamma$ là tập hợp các lọc trên $X$ có một cơ sở gồm các tập mở và không có điểm tụ nào trong $X$. Chứng minh rằng tập hợp $\Gamma$ là quy nạp nếu nó không rỗng (tức là, nếu $X$ không đóng tuyệt đối).

b) Cho $\Omega$ là tập hợp các lọc cực đại trong $\Gamma$, và cho $X'$ là tập hợp là tổng của $X$ và $\Omega$. Với mỗi $x \in X$, ký hiệu $\mathfrak{B}(x)$ là tập hợp các lân cận của $x$ trong $X$, và với mỗi $\omega \in \Omega$, ký hiệu $\mathfrak{B}(\omega)$ là tập hợp các tập con của $X'$ có dạng $\{ \omega \} \cup M$, trong đó $M$ thuộc lọc $\omega$. Khi đó có một tôpô trên $X'$ trong đó $\mathfrak{B}(x')$ là một hệ cơ sở của các lân cận của $x'$ với mỗi $x' \in X'$. Hãy chứng minh rằng, với tôpô này, $X'$ là đóng tuyệt đối và có tính chất phổ quát sau: với mọi ánh xạ liên tục mở $f : X \to Y$ của $X$ vào một không gian đóng tuyệt đối $Y$, có một ánh xạ liên tục duy nhất $g : X' \to Y$ mở rộng $f$ (xét các ảnh qua $f$ của các lọc thuộc $\Omega$, và nhận xét rằng trong một không gian đóng tuyệt đối, một lọc cực đại trong tập hợp các lọc có cơ sở gồm các tập hợp mở phải hội tụ). Đặc biệt, tôpô của $X'$ là $X$-cực đại ($§ 3$, Bài tập 11). Suy ra rằng có những không gian đóng tuyệt đối mà tôpô của chúng là gần cực đại ($§ 2$, Bài tập 6).

¶ 25) a) Cho $X$ là một không gian khả tiếp cận, và cho $\Phi$ là tập hợp các lọc trên $X$ có cơ sở gồm các tập hợp đóng. Hãy chứng minh rằng tập hợp $\Phi$ là quy nạp, và cho $X''$ là tập hợp các lọc cực đại trong $\Phi$.

b) Với mỗi tập con mở $U$ của $X$, cho $U^*$ là tập hợp các lọc $\mathfrak{F} \in X''$ sao cho $U \in \mathfrak{F}$. Nếu $U, V$ là hai tập con mở của $X$, thì

(nhận xét rằng nếu $\mathfrak{F} \in X''$ là sao cho $U \notin \mathfrak{F}$, thì $X = U \in \mathfrak{F}$). Hãy chứng minh rằng các tập hợp $U^*$ tạo thành một cơ sở của một tôpô trên $X''$ và rằng trong tôpô này $X''$ là gần compact [kiểm tra tiên đề (C'''') , dùng nhận xét ở trên] và khả tiếp cận [nếu $\mathfrak{F}, \mathfrak{G}$ là hai phần tử phân biệt của $X''$, hãy chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp đóng rời nhau $A$ và $B$ trong $X$ sao cho $A \in \mathfrak{F}$ và $B \in \mathfrak{G}$].

c) Với mỗi $x \in X$ đặt $\varphi(x)$ là siêu lọc trên $X$ có tập đơn $\{ x \}$ làm cơ sở. Chứng minh rằng $\varphi$ là một đồng phôi của $X$ lên một tập con trù mật của $X''$ và rằng nếu $X$ là quasi-compact (và khả tiếp cận), thì $\varphi(X) = X''$.

d) Chứng minh rằng đối với mỗi ánh xạ liên tục $f$ của $X$ vào một không gian compact $Y$ tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $g : X'' \to Y$ sao cho $f = g \circ \varphi$.

e) Cho $\tilde{X}$ là không gian Hausdorff phổ quát liên kết với $X''$ ($§ 8$, Bài tập 27); chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $\psi : X'' \to \tilde{X}$ là toàn ánh và rằng $\tilde{X}$ là compact. Do đó mọi ánh xạ liên tục của $X$ vào một không gian compact $Y$ đều có thể viết duy nhất dưới dạng $f = h \circ \psi \circ \varphi$, trong đó $h : \tilde{X} \to Y$ là liên tục.

26) Nếu $X$ là một không gian rời rạc, chứng minh rằng các không gian $X''$ và $\tilde{X}$ được định nghĩa trong Bài tập 25 là đồng nhất, và rằng nếu $\mathfrak{T}$ là tôpô của không gian $X'$ được định nghĩa trong Bài tập 24, thì $X''$ có thể được đồng nhất với không gian $X'$ mang tôpô nửa chính quy $\mathfrak{T}^*$ liên kết với $\mathfrak{T}$ (§ 8, Bài tập 20). Hơn nữa, tập $X''$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc với tập các siêu lọc trên $X$. Không gian compact $X''$ được gọi là không gian siêu lọc của $X$.

¶ 27) Chứng minh rằng trong một không gian compact $X$ mọi không gian con mở vô hạn isodyne [§ 2, Bài tập 11 d)] đều giải được. [Dùng Mệnh đề 1 của no. 2, chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $\mathfrak{B}$ của tôpô của $U$ sao cho số lực ($\mathfrak{B}$) = số lực ($U$); sau đó dùng Bài tập 11 c) của § 2.] Suy ra rằng mọi không gian địa phương compact không có điểm cô lập đều giải được [dùng Bài tập 11 d) của § 2]; do đó một không gian như vậy không phải là nửa tối đại.

a) Cho $K$ là không gian rời rạc $\{0, 1\}$. Nếu $X$ là một không gian compact bất kỳ, gọi $F$ là tập hợp các ánh xạ $f$ của $K$ vào tập hợp $\mathfrak{F}(X)$ các tập con đóng của $X$ sao cho $X = f(0) \cup f(1)$. Xét không gian compact $Y = K^F$; chứng minh rằng với mỗi $y = (y_f)_{f \in F}$ trong $Y$, giao của các tập đóng $f(y_f)$ của $X$ gồm nhiều nhất một điểm. Tập hợp $Z$ gồm các $y \in Y$ mà giao này không rỗng là một tập con đóng của $Y$. Nếu $\varphi(y)$ là điểm chung duy nhất của các $f(y_f)$ đối với $y \in Z$, chứng minh rằng $\varphi$ là một ánh xạ liên tục toàn ánh từ $Z$ lên $X$.

b) Cho một ví dụ về một không gian compact $X$ sao cho không tồn tại ánh xạ liên tục toàn ánh từ một không gian compact có dạng $K^A$ lên $X$ [dùng Bài tập 4 b) của § 4 và Bài tập 26 của § 9].

¶ 29) Một không gian tôpô $X$ được gọi là địa phương quasi-compact nếu mỗi điểm của $X$ có một hệ cơ sở các lân cận quasi-compact.

a) Chứng minh rằng trong một không gian địa phương quasi-compact, mọi tập con quasi-compact đều có một hệ cơ sở các lân cận quasi-compact.

b) Chứng minh rằng mọi không gian con đóng địa phương của một không gian địa phương quasi-compact là địa phương quasi-compact.

*c) Trên đĩa Euclid đóng $B : ||x|| \leq 1$ trong mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$, gọi $\mathfrak{T}_0$ là tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$, và gọi $\mathfrak{T}$ là tôpô (mịn hơn) được định nghĩa như sau: lọc lân cận của một điểm $x \neq (1,0)$ của $B$ là như nhau đối với $\mathfrak{T}$ và $\mathfrak{T}_0$, nhưng đối với điểm $(1,0)$ một hệ cơ sở các lân cận trong tôpô $\mathfrak{T}$ được tạo bởi các tập hợp

trong đó $D$ là một đĩa mở bất kỳ có tâm tại $(1,0)$ và $B_0$ là đĩa mở $||x|| < 1$. Gọi $Y$ là tập hợp $B$ với tôpô $\mathfrak{T}$, và gọi $R$ là quan hệ tương đương trên $Y$ mà các lớp tương đương của nó là tập hợp $S$ gồm mọi $x \neq (1,0)$ trong B sao cho $||x|| = 1$ và các tập con của Y gồm một điểm duy nhất của B — S. Chứng minh rằng không gian thương $X = Y/R$ là quasi-compact nhưng không địa phương quasi-compact. \*