Bài tập 11, § 4

Cho X là một không gian đều Hausdorff, $\mathfrak{U}$ là cấu trúc đều của nó, $\mathfrak{F}(X)$ là tập hợp tất cả các tập con đóng khác rỗng của X. Cho $\mathfrak{F}(X)$ mang cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều $\tilde{\mathfrak{U}}$ được định nghĩa trong § 1, bài tập 5 a). a) Chứng minh rằng nếu X' là tiền compact thì $\mathfrak{F}(X)$ cũng vậy. [Nếu $(A_i)$ là một phủ hữu hạn của X bởi các tập hợp V-nhỏ (V đối xứng), chứng minh rằng các tập hợp $\tilde{V}(B_k)$ phủ $\mathfrak{F}(X)$, trong đó các B_k là tất cả các hợp của các tập hợp A_i]. b) Một điểm A ∈ $\mathfrak{F}(X)$ có tính chất là mọi lân cận của A trong tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ trên $\mathfrak{F}(X)$ đều chứa một lân cận của A trong tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Theta$ (Chương I, § 8, bài tập 12) trên $\mathfrak{F}(X)$, khi và chỉ khi A là tiền compact. c) Chứng minh rằng các tôpô $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ và $\mathfrak{T}_\Theta$ cảm sinh cùng một tôpô trên tập hợp $\mathfrak{K}(X)$ các tập hợp compact của X [dùng b) và Bài tập 5 của § 1].