Exercice 11, § 4

Soient $X$ un espace uniforme séparé, $\mathfrak{U}$ sa structure uniforme, $\mathfrak{F}(X)$ l’ensemble des parties fermées non vides de $X$ muni de la structure uniforme induite par la structure uniforme $\tilde{\mathfrak{U}}$ définie dans II, p. 34, exerc. 5 a).

a) Montrer que si X est précompact, $\mathfrak{F}(X)$ est précompact. (Si $(A_i)$ est un recouvrement fini de X par des ensembles petits d’ordre V (V symétrique), on montrera que les ensembles $\tilde{V}(B_k)$, où les $B_k$ sont toutes les réunions d’ensembles $A_i$, forment un recouvrement de $\mathfrak{F}(X)$).

b) Pour qu’un point $A \in \mathfrak{F}(X)$ soit tel que tout voisinage de A pour la topologie induite sur $\mathfrak{F}(X)$ par $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ contienne un voisinage de A pour la topologie induite sur $\mathfrak{F}(X)$ par $\mathscr{T}_\Theta$ (I, p. 101, exerc. 12), il faut et il suffit que A soit précompact.

c) Montrer que sur l’ensemble $\mathscr{R}(X)$ des parties compactes de X, les topologies induites par $\mathscr{T}(\mathfrak{U})$ et $\mathscr{T}_\Theta$ coïncident (utiliser b) et l’exerc. 5 de II, p. 34).