Bài tập 12, § 4

a) Cho R là một đại số Boole, và đồng nhất R với một đại số Boole gồm các tập con của tập hợp Ω các tiền bộ lọc cực đại trên R (Chương I, § 6, Bài tập 20). Với mỗi phân hoạch hữu hạn $\omega = (A_i)$ của Ω, được tạo thành từ các tập hợp thuộc R, gọi $C_{\overline{\omega}}$ là tập con $\bigcup_i (A_i \times A_i)$ của $\Omega \times \Omega$. Chứng minh rằng các tập hợp $C_{\overline{\omega}}$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của một tôpô đều Hausdorff trên Ω. Phần bù đầy đủ, $\hat{\Omega}$, của Ω đối với tôpô đều này là một không gian compact hoàn toàn rời rạc. Một tập con của $\hat{\Omega}$ vừa mở vừa đóng trong $\hat{\Omega}$ khi và chỉ khi nó có dạng $\overline{A}$, trong đó $A \in R$. Chứng minh rằng $A \to \overline{A}$ là một ánh xạ song ánh của R lên tập hợp các tập con của $\hat{\Omega}$ vừa mở vừa đóng, và rằng $CA = C\overline{A}$, $A \cup B = \overline{A} \cup \overline{B}$ và $A \cap B = \overline{A} \cap \overline{B}$. Suy ra rằng ánh xạ chính tắc $\Omega \to \hat{\Omega}$ là song ánh.

b) Cho $X$ là một không gian tôpô Hausdorff trong đó các tập hợp vừa mở vừa đóng tạo thành một cơ sở cho tôpô. Lấy R là đại số Boole tạo thành bởi các tập con của $X$ vừa mở vừa đóng; khi đó tôpô cảm sinh trên $X$ bởi tôpô của phần bù đầy đủ $\hat{X}$ của $X$ đối với tôpô đều $U$ được xác định trong a) chính là tôpô đã cho trên $X$. Hơn nữa, các phần tử cực đại của tập hợp các bộ lọc trên $X$ có một cơ sở tạo thành bởi các tập mở, và các phần tử cực đại của tập hợp các bộ lọc trên $X$ có một cơ sở tạo thành bởi các tập đóng là các bộ lọc Cauchy đối với tôpô đều $U$. Suy ra rằng có các toàn ánh liên tục $\varphi : \tilde{X} \to \hat{X}$, $\psi : X' \to \hat{X}$, trong đó $\tilde{X}, X'$ là các không gian được xác định trong Chương I, § 9, Bài tập 25 và 24. Chứng minh rằng nếu $X$ là đường thẳng hữu tỉ $Q$, thì $\psi$ không phải là song ánh. Nếu $X$ là rời rạc cực trị (Chương I, § 11, Bài tập 21), thì $\psi$ là song ánh, $\hat{X}$ là rời rạc cực trị và có thể được đồng nhất với không gian nửa chính quy liên kết với $X'$ (Chương I, § 8, Bài tập 20); do đó các không gian rời rạc cực trị có thể được đặc trưng như là các không gian con trù mật của các không gian compact rời rạc cực trị. Vì vậy, hãy cho một ví dụ về một không gian compact rời rạc cực trị không có điểm cô lập [(xem Chương I, § 11, Bài tập 21 f)].

Đặc biệt, nếu ta lấy $X$ là một không gian rời rạc, thì $\hat{X}$ có thể được đồng nhất với không gian siêu lọc của $X$ (Chương I, § 9, Bài tập 26).