Exercice 12, § 4

a) Soit R un réseau booléien, formé de parties d’un ensemble $\Omega$. A toute partition finie $\varpi = (A_i)$ de $\Omega$ formée d’ensembles appartenant à R, on fait correspondre, dans $\Omega \times \Omega$, l’ensemble $C_\varpi = \bigcup_i (A_i \times A_i)$. Montrer que les $C_\varpi$ forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme séparée sur $\Omega$. Le complété $\hat{\Omega}$ de $\Omega$ pour cette structure est un espace compact totalement discontinu; pour qu’une partie de $\hat{\Omega}$ soit un ensemble à la fois ouvert et fermé dans $\hat{\Omega}$, il faut et il suffit qu’elle soit de la forme $\overline{A}$, où $A \in R$. Montrer que $A \mapsto \overline{A}$ est une application bijective de R sur l’ensemble des parties à la fois ouvertes et fermées de $\hat{\Omega}$, telle que l’on ait $\overline{A} = \overline{A}$, $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$. Lorsque $R_0$ est un réseau booléien quelconque, R le réseau isomorphe de parties de l’ensemble $\Omega$ des préfiltres maximaux de $R_0$ (I, p. 99, exerc. 20), montrer que l’application canonique $\Omega \to \hat{\Omega}$ est bijective, autrement dit que $\Omega$ est compact. Si R est achevé (E, III, p. 71, exerc. 11), $\Omega$ est extrêmement discontinu (I, p. 117, exerc. 21). Donner un exemple de réseau booléien $R_0$ tel que $\Omega$ ne soit pas extrêmement discontinu (cf. I, p. 99, exerc. 20 d)). Si $R_0$ est un réseau booléien formé de parties d’un ensemble E, les ensembles à la fois ouverts et fermés de $\Omega$ s’obtiennent en considérant un ensemble $A \in R_0$ et l’ensemble $U(A)$ des préfiltres maximaux de $R_0$ auxquels appartient A.

b) Soit X un espace topologique séparé, tel que les ensembles à la fois ouverts et fermés forment une base de la topologie de X. On prend pour R le réseau booléien formé des parties à la fois ouvertes et fermées de X; la topologie induite sur X par la topologie du complété $\hat{X}$ de X pour la structure uniforme $\mathfrak{U}$ définie dans a) est la topologie donnée sur X. En outre, les éléments maximaux dans l’ensemble des filtres sur X ayant une base formée d’ensembles ouverts, et dans l’ensemble des filtres sur X ayant une base formée d’ensembles fermés, sont des filtres de Cauchy pour $\mathfrak{U}$. En déduire qu’il existe des applications surjectives continues $\varphi : \hat{X} \to \hat{X}$, $\psi : X' \to \hat{X}$ pour les espaces topologiques $\hat{X}$ et $X'$ définis dans I, p. 109, exerc. 26 et 25. Montrer que si X est la droite rationnelle $\mathbf{Q}$, l’application $\psi$ n’est pas bijective. Si X est extrêmement discontinu (I, p. 117, exerc. 21), $\psi$ est bijective, $\hat{X}$ est extrêmement discontinu et s’identifie à l’espace semi-régulier associé à $X'$ (I, p. 103, exerc. 20); les espaces extrêmement discontinus peuvent donc se caractériser comme les sous-espaces partout denses des espaces compacts extrêmement discontinus. En déduire un exemple d’espace compact extrêmement discontinu et n’ayant aucun point isolé (cf. I, p. 117, exerc. 21 f)).

Si on prend en particulier pour X un espace discret, $\hat{X}$ s’identifie à l’espace des ultrafiltres sur X (I, p. 110, exerc. 27).