Bài tập 18, § 4

a) Chứng minh rằng một không gian liên thông compact $X$ không thể là hợp của một họ vô hạn đếm được các tập hợp đóng không rỗng rời nhau từng đôi [bằng cách phản chứng: nếu $(F_n)$ là một phân hoạch vô hạn đếm được của $X$ thành các tập hợp đóng, hãy chứng minh với sự trợ giúp của Bài tập 17 rằng có một tập hợp liên thông compact $K$ không gặp $F_1$ nhưng gặp một số vô hạn các tập hợp $F_n$; để làm điều này hãy xét thành phần của một điểm của $F_2$ đối với một lân cận compact của $F_2$ không gặp $F_1$. Sau đó dùng quy nạp].

b) Mở rộng kết quả của a) cho một không gian liên thông địa phương compact $X$ dưới một trong hai điều kiện bổ sung sau: một trong các $F_n$ là compact và liên thông, hoặc $X$ là liên thông địa phương. [Trong trường hợp thứ nhất, hãy rút gọn về a) nhờ Bài tập 17].

*c) Cho $X$ là không gian con của $\mathbf{R}^3$ là hợp của các không gian con sau đây : $A_n$ là nửa đường thẳng $x > 0,\ y = 1/n,\ z = 0\ (n \geq 1)$; $B_n$ là khoảng $2n < x < 2n + 2,\ y = 0,\ z = 0\ (n \geq 0)$; $C_n$ là tập hợp được xác định bởi các hệ thức

trong đó $n \geq 0$.

Chứng minh rằng $X$ là liên thông và địa phương compact và là hợp của một họ vô hạn đếm được các tập hợp đóng, liên thông, không rỗng rời nhau từng đôi. \*